南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将极限表达式转化为乘积形式
原极限为 \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}\)，分子是三次根号下从 \(n+1\) 到 \(n+n\) 的乘积，即 \(\sqrt[3]{\prod_{k=1}^n (n+k)}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\prod_{k=1}^n (n+k)\right)^{1/3}}{n}
提示：注意乘积有 n 项，不要遗漏项数。
步骤 2/6
目标：取对数简化极限计算
设 \(a_n = \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n}\)，取自然对数得：\(\ln a_n = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \ln n\)。
公式：\ln a_n = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \ln n
提示：取对数是处理乘积和根号的标准方法。
步骤 3/6
目标：分解对数求和中的每一项
将 \(\ln(n+k)\) 分解为 \(\ln n + \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\)，则求和变为：\(\sum_{k=1}^n \ln(n+k) = n\ln n + \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\)。
公式：\sum_{k=1}^n \ln(n+k) = n\ln n + \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)
提示：注意 \(\ln(n+k) = \ln\left[n\left(1+\frac{k}{n}\right)\right] = \ln n + \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\)。
步骤 4/6
目标：代入并合并含 \(\ln n\) 的项
代入 \(\ln a_n\) 得：\(\ln a_n = \frac{1}{3}\left(n\ln n + \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\right) - \ln n = \left(\frac{n}{3} - 1\right)\ln n + \frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\)。
公式：\ln a_n = \left(\frac{n}{3} - 1\right)\ln n + \frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)
提示：合并 \(\ln n\) 项时注意系数。
步骤 5/6
目标：估计 \(\ln a_n\) 的下界
由于 \(\ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \ge 0\)，所以 \(\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \ge 0\)，因此 \(\ln a_n \ge \left(\frac{n}{3} - 1\right)\ln n\)。当 \(n \to \infty\) 时，\(\left(\frac{n}{3} - 1\right)\ln n \to +\infty\)，故 \(\ln a_n \to +\infty\)。
公式：\ln a_n \ge \left(\frac{n}{3} - 1\right)\ln n \to +\infty
提示：下界趋于无穷大即可推出原极限为无穷大，无需精确求和。
步骤 6/6
目标：得出极限结果
由 \(\ln a_n \to +\infty\) 得 \(a_n \to +\infty\)，因此原极限为 \(+\infty\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n} = +\infty
提示：注意极限是正无穷大，不是有限值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。