南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分被积函数
观察到分子 $x$ 可以写成 $(1+x)-1$，因此被积函数可拆分为：
$$
\frac{x e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1+x)e^x}{(1+x)^2} - \frac{e^x}{(1+x)^2} = \frac{e^x}{1+x} - \frac{e^x}{(1+x)^2}
$$
公式：$\frac{x e^x}{(1+x)^2} = \frac{e^x}{1+x} - \frac{e^x}{(1+x)^2}$
提示：拆分时注意符号，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：将原积分分解为两个积分之差
原积分化为：
$$
\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{1+x} \, dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx
$$
公式：$\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{1+x} \, dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx$
提示：保持积分号与微分符号一致。
步骤 3/5
目标：对第二个积分应用分部积分法
令 $u = e^x$，$dv = \frac{1}{(1+x)^2} \, dx$，则 $du = e^x \, dx$，$v = -\frac{1}{1+x}$。于是：
$$
\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx = -\frac{e^x}{1+x} - \int \left(-\frac{1}{1+x}\right) e^x \, dx = -\frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{1+x} \, dx
$$
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时注意 $v$ 的符号，$\int \frac{1}{(1+x)^2} \, dx = -\frac{1}{1+x}$。
步骤 4/5
目标：将分部积分结果代回原积分表达式
原积分等于：
$$
\int \frac{e^x}{1+x} \, dx - \left( -\frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{1+x} \, dx \right)
$$
公式：代入后得到 $\int \frac{e^x}{1+x} \, dx + \frac{e^x}{1+x} - \int \frac{e^x}{1+x} \, dx$
提示：注意括号前的负号要逐项分配。
步骤 5/5
目标：化简并得到最终结果
两个相同的积分 $\int \frac{e^x}{1+x} \, dx$ 相互抵消，剩下：
$$
\frac{e^x}{1+x} + C
$$
公式：$\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \frac{e^x}{1+x} + C$
提示：不要忘记积分常数 $C$。
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