南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} d t-x}{x \ln (1+x) \arctan x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析分子在x→0+时的行为
分子为 $\\int_0^x e^{t^2/2} dt - x$。将被积函数 $e^{t^2/2}$ 在 $t=0$ 处展开：$e^{t^2/2} = 1 + \\frac{t^2}{2} + \\frac{t^4}{8} + O(t^6)$。逐项积分得：$\\int_0^x e^{t^2/2} dt = x + \\frac{x^3}{6} + \\frac{x^5}{40} + O(x^7)$。因此分子为：$(x + \\frac{x^3}{6} + O(x^5)) - x = \\frac{x^3}{6} + O(x^5)$。
公式：\\int_0^x e^{t^2/2} dt = x + \\frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：注意展开到足够高阶，确保分子最低阶项为 $x^3$ 项。
步骤 2/3
目标：分析分母在x→0+时的行为
分母为 $x \\ln(1+x) \\arctan x$。分别展开：$\\ln(1+x) = x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} + O(x^4)$，$\\arctan x = x - \\frac{x^3}{3} + O(x^5)$。因此分母乘积为：$x \\cdot (x + O(x^2)) \\cdot (x + O(x^3)) = x^3 + O(x^4)$。最低阶项为 $x^3$。
公式：\\ln(1+x) \\sim x,\\quad \\arctan x \\sim x,\\quad x \\ln(1+x) \\arctan x \\sim x^3
提示：只需取各因子的最低阶近似即可确定分母的量级。
步骤 3/3
目标：计算极限值
分子 $\\sim \\frac{x^3}{6}$，分母 $\\sim x^3$，因此极限为：$\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3 + O(x^4)} = \\frac{1}{6}$。
公式：\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\frac{x^3}{6}}{x^3} = \\frac{1}{6}
提示：高阶无穷小不影响极限值，只需比较最低阶项的系数。
步骤 4/6
目标：展开分母中的函数
分别展开 $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$，$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$。分母为 $x \cdot \ln(1+x) \cdot \arctan x$。
公式：\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3),\quad \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)
提示：只需展开到能确定最低阶项即可。
步骤 5/6
目标：计算分母的最低阶项
先计算 $x \cdot \ln(1+x)=x\left(x-\frac{x^2}{2}+\cdots\right)=x^2-\frac{x^3}{2}+\cdots$，再乘以 $\arctan x$：$(x^2-\frac{x^3}{2}+\cdots)(x-\frac{x^3}{3}+\cdots)=x^3+\cdots$，其中 $x^3$ 来自 $x^2 \cdot x$，更高阶项不影响极限。因此分母主项为 $x^3$。
公式：x \ln(1+x) \arctan x = x^3 + O(x^4)
提示：注意 $x^2 \cdot (-\frac{x^3}{3})$ 和 $(-\frac{x^3}{2}) \cdot x$ 都是 $x^4$ 或更高阶，不影响 $x^3$ 主项。
步骤 6/6
目标：求极限
分子主项 $\frac{x^3}{6}$，分母主项 $x^3$，因此极限为 $\lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{x^3}{6}+\cdots}{x^3+\cdots} = \frac{1}{6}$。
公式：\lim_{x\to 0^+} \frac{\int_0^x e^{t^2/2} dt - x}{x \ln(1+x) \arctan x} = \frac{1}{6}
提示：也可用洛必达法则验证，但泰勒展开更简洁。
步骤 7/7
目标：计算极限
原极限 $= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{3x^2} = \frac{1}{6}$。
提示：注意 $x^2$ 约掉后得到常数。
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