南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
4．计算二重积分 $\left.\int_{D} \int|x|+|y|\right) d x d y$ ，其中 $D:|x|+|y| \leq 2$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析区域和被积函数的对称性
积分区域 $D: |x|+|y| \leq 2$ 是一个关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称的菱形（正方形旋转45度）。被积函数 $|x|+|y|$ 在四个象限中形式相同，因此可以利用对称性，只计算第一象限部分再乘以4。在第一象限中，$x \geq 0, y \geq 0$，故 $|x|+|y| = x+y$，区域为 $x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 2$。
公式：\iint_D (|x|+|y|) \, dxdy = 4 \iint_{D_1} (x+y) \, dxdy, \quad D_1: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 2
提示：注意对称性成立的条件：区域对称且被积函数在对称区域上具有相同的表达式。
步骤 2/5
目标：将二重积分化为累次积分
在第一象限区域 $D_1$ 中，$x$ 的范围是 $0 \leq x \leq 2$，对于固定的 $x$，$y$ 的范围是 $0 \leq y \leq 2-x$。因此积分化为：
$$\iint_{D_1} (x+y) \, dxdy = \int_{x=0}^{2} \int_{y=0}^{2-x} (x+y) \, dy \, dx$$
公式：\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} (x+y) \, dy \, dx
提示：确定积分限时，注意 $x+y \leq 2$ 给出 $y \leq 2-x$，且 $y \geq 0$。
步骤 3/5
目标：计算内层对 $y$ 的积分
先对 $y$ 积分，将 $x$ 视为常数：
$$\int_{0}^{2-x} (x+y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=2-x} = x(2-x) + \frac{(2-x)^2}{2}$$
化简：
$$= 2x - x^2 + \frac{4 - 4x + x^2}{2} = 2x - x^2 + 2 - 2x + \frac{x^2}{2} = 2 - \frac{x^2}{2}$$
公式：\int_{0}^{2-x} (x+y) \, dy = 2 - \frac{x^2}{2}
提示：展开 $(2-x)^2$ 时注意符号，合并同类项要仔细。
步骤 4/5
目标：计算外层对 $x$ 的积分
将内层积分结果代入，对 $x$ 从0到2积分：
$$\int_{0}^{2} \left(2 - \frac{x^2}{2}\right) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{6}) - 0 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
公式：\int_{0}^{2} \left(2 - \frac{x^2}{2}\right) \, dx = \frac{8}{3}
提示：注意 $\frac{x^3}{6}$ 的系数，积分时不要漏掉分母。
步骤 5/5
目标：乘以对称倍数得到最终结果
第一象限的积分结果为 $\frac{8}{3}$，由对称性，整个区域上的积分为4倍：
$$\iint_D (|x|+|y|) \, dxdy = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$$
公式：\iint_D (|x|+|y|) \, dxdy = \frac{32}{3}
提示：对称倍数4是因为四个象限完全对称，不要误乘其他倍数。
步骤 6/6
目标：利用对称性得到整个积分值
由于四个象限的积分值相等，整个积分 $I = 4 \times I_1 = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$。
公式：I = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3}
提示：对称性乘以4的前提是四个象限的积分完全相等，这里被积函数和区域都满足。
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