南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
5．求曲线 $\displaystyle x=t, y=-t^{2}, z=\frac{4}{3} t^{3}$ 上与平面 $x+2 y+z=1$ 平行的切线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
曲线参数方程为：
\[ x = t,\quad y = -t^2,\quad z = \frac{4}{3}t^3 \]
给定平面方程为：
\[ x + 2y + z = 1 \]
平面的法向量为：
\[ \vec{n} = (1, 2, 1) \]
公式：\vec{n} = (1, 2, 1)
提示：注意平面方程的一般形式为 Ax+By+Cz=D，法向量为 (A,B,C)。
步骤 2/6
目标：求曲线的切向量
对参数方程求导，得到曲线在参数 t 处的切向量：
\[ \vec{r}'(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = (1, -2t, 4t^2) \]
公式：\vec{r}'(t) = (1, -2t, 4t^2)
提示：求导时注意幂函数求导法则：\frac{d}{dt}t^n = n t^{n-1}。
步骤 3/6
目标：利用平行条件建立方程
直线与平面平行，等价于直线的方向向量与平面的法向量垂直，即点积为零：
\[ \vec{r}'(t) \cdot \vec{n} = 0 \]
代入得：
\[ (1)(1) + (-2t)(2) + (4t^2)(1) = 0 \]
化简为：
\[ 1 - 4t + 4t^2 = 0 \]
公式：\vec{r}'(t) \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 1 - 4t + 4t^2 = 0
提示：点积计算时注意符号：(-2t)×2 = -4t，不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：解方程求参数 t
方程 \[ 4t^2 - 4t + 1 = 0 \] 是一个完全平方：
\[ (2t - 1)^2 = 0 \]
解得：
\[ t = \frac{1}{2} \]
公式：(2t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}
提示：完全平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2，这里 a=2t, b=1。
步骤 5/6
目标：求切点坐标
将 t = 1/2 代入曲线参数方程：
\[ x = \frac{1}{2},\quad y = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{1}{4},\quad z = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6} \]
所以切点为：
\[ \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{6} \right) \]
公式：切点：\left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{6} \right)
提示：计算 z 时注意先算 t^3 = 1/8，再乘以 4/3 得 4/24 = 1/6。
步骤 6/6
目标：写出切线方程
切向量为：
\[ \vec{r}'\left(\frac{1}{2}\right) = (1, -1, 1) \]
切线点向式方程为：
\[ \frac{x - \frac{1}{2}}{1} = \frac{y + \frac{1}{4}}{-1} = \frac{z - \frac{1}{6}}{1} \]
参数形式为：
\[ x = \frac{1}{2} + s,\quad y = -\frac{1}{4} - s,\quad z = \frac{1}{6} + s,\quad s \in \mathbb{R} \]
公式：\frac{x - \frac{1}{2}}{1} = \frac{y + \frac{1}{4}}{-1} = \frac{z - \frac{1}{6}}{1}
提示：点向式方程中分母为方向向量的分量，分子为坐标差，注意 y 坐标差为 y - (-1/4) = y + 1/4。
步骤 7/7
目标：写出切线方程
切线过点 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{6}\right)$，方向向量为 $(1, -1, 1)$，对称式方程为：$\frac{x - \frac{1}{2}}{1} = \frac{y + \frac{1}{4}}{-1} = \frac{z - \frac{1}{6}}{1}$。
公式：\frac{x - \frac{1}{2}}{1} = \frac{y + \frac{1}{4}}{-1} = \frac{z - \frac{1}{6}}{1}
提示：注意 $y$ 坐标是 $-\frac{1}{4}$，所以 $y + \frac{1}{4}$ 的分子形式。
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