南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
6．求荎级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收玫半径及和函数 $S(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的通项系数并求收敛半径
给定幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^{n}}{n+1}$，其通项系数为 $a_n = \\frac{1}{n+1}$。利用比值判别法：\n$$\n\\lim_{n \\to \\infty} \\left| \\frac{a_{n+1}}{a_n} \\right| = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1/(n+2)}{1/(n+1)} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n+1}{n+2} = 1,\n$$\n因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$R = \\frac{1}{\\limsup_{n\\to\\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}}$ 或由比值极限为1得 $R=1$
提示：比值极限为1时，收敛半径直接为1，但需注意端点处需单独判断。
步骤 2/5
目标：判断端点处的收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{n+1}$，这是调和级数，发散。\n当 $x=-1$ 时，级数为 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n+1}$，这是交错调和级数，由莱布尼茨判别法知条件收敛。\n因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：调和级数 $\\sum \\frac{1}{n}$ 发散；交错调和级数 $\\sum \\frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛
提示：注意 $x=-1$ 时级数收敛但非绝对收敛，需明确区分条件收敛与绝对收敛。
步骤 3/5
目标：利用积分变换将幂级数转化为可求和的形式
记 $S(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^{n}}{n+1}$。注意到 $\\int_0^x t^n \\, dt = \\frac{x^{n+1}}{n+1}$，于是\n$$\nS(x) = \\frac{1}{x} \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^{n+1}}{n+1} = \\frac{1}{x} \\sum_{n=0}^{\\infty} \\int_0^x t^n \\, dt.\n$$\n在收敛半径内（$|x|<1$）可逐项积分，交换求和与积分次序：\n$$\nS(x) = \\frac{1}{x} \\int_0^x \\sum_{n=0}^{\\infty} t^n \\, dt.\n$$
公式：$\\int_0^x t^n \\, dt = \\frac{x^{n+1}}{n+1}$
提示：交换积分与求和的次序需验证一致收敛性，在收敛半径内幂级数内闭一致收敛，故可交换。
步骤 4/5
目标：计算几何级数的和并积分
当 $|t|<1$ 时，几何级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} t^n = \\frac{1}{1-t}$。代入得\n$$\nS(x) = \\frac{1}{x} \\int_0^x \\frac{1}{1-t} \\, dt = \\frac{1}{x} \\left[ -\\ln(1-t) \\right]_{0}^{x} = -\\frac{\\ln(1-x)}{x}.\n$$\n此表达式对 $x \\in (-1,0) \\cup (0,1)$ 成立。
公式：$\\sum_{n=0}^{\\infty} t^n = \\frac{1}{1-t}$，$\\int \\frac{1}{1-t} \\, dt = -\\ln(1-t)$
提示：注意积分下限为0时，$\\ln(1-0)=0$，结果简洁；$x$ 在分母，需单独处理 $x=0$ 的情况。
步骤 5/5
目标：处理 $x=0$ 处的和函数值
在原级数中，当 $x=0$ 时，只有 $n=0$ 项非零，即 $S(0)=1$。而 $\\lim_{x\\to 0} -\\frac{\\ln(1-x)}{x} = 1$（利用等价无穷小 $\\ln(1-x) \\sim -x$ 或洛必达法则），因此和函数可连续延拓至 $x=0$。\n故和函数为分段形式：\n$$\nS(x) = \\begin{cases}\n-\\dfrac{\\ln(1-x)}{x}, & x \\in [-1,0) \\cup (0,1), \\\\\n1, & x=0.\n\end{cases}\n$$
公式：$\\lim_{x\\to 0} \\frac{-\\ln(1-x)}{x} = 1$
提示：不要遗漏 $x=0$ 的定义，否则和函数不完整；端点 $x=-1$ 处表达式仍有效，但需注意收敛域包含 $-1$。
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