南京信息工程大学 2021年数学分析第0题

考虑极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{n}{2}} \cos^{n} x \, dx$。积分上限 $n/2$ 随 $n$ 增大而增大，被积函数 $\cos^n x$ 在 $x$ 接近 $0$ 或 $\pi$ 的整数倍时绝对值接近 $1$，在其他区域指数衰减。由于 $\cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 为正，在 $(\pi/2, 3\pi/2)$ 为负，$n$ 的奇偶性会影响负值区域的符号。

将区间 $[0, n/2]$ 按周期 $2\pi$ 分段，设 $k = \left\lfloor \frac{n}{4\pi} \right\rfloor$，则积分可写为： \[ \int_{0}^{\frac{n}{2}} \cos^{n} x \, dx = \sum_{j=0}^{k-1} \int_{2\pi j}^{2\pi (j+1)} \cos^{n} x \, dx + \int_{2\pi k}^{\frac{n}{2}} \cos^{n} x \, dx \] 其中每个完整周期上的积分记为 $I_n = \int_{0}^{2\pi} \cos^{n} x \, dx$，由于周期性，每个周期积分相同。

计算 $I_n = \int_{0}^{2\pi} \cos^{n} x \, dx$。 - 当 $n$ 为奇数时，$\cos^n x$ 关于 $x=\pi$ 反对称，积分值为 $0$。 - 当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$，则 $\cos^{2m} x \ge 0$，利用对称性： \[ I_{2m} = 2\int_{0}^{\pi} \cos^{2m} x \, dx = 2\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(m+1/2)}{\Gamma(m+1)} \] 由 Stirling 公式，当 $m \to \infty$ 时，$I_{2m} \sim \frac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{m}}$。

当 $n=2m$ 为偶数时，完整周期个数约为 $\frac{n}{4\pi} = \frac{m}{2\pi}$，每个周期积分 $\sim \frac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{m}}$，因此前 $k$ 个周期总和： \[ \sum_{j=0}^{k-1} I_{2m} \approx \frac{m}{2\pi} \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{\pi}} \to \infty \quad (m \to \infty) \] 余项积分有界（长度小于 $2\pi$，被积函数绝对值 $\le 1$），故整体积分趋于 $+\infty$。

当 $n=2m+1$ 为奇数时，每个完整周期积分 $I_{2m+1}=0$，因此前 $k$ 个周期总和为 $0$。余项积分 $\int_{2\pi k}^{\frac{n}{2}} \cos^{2m+1} x \, dx$ 的长度小于 $2\pi$，且被积函数在远离 $0$ 或 $\pi$ 处指数衰减，仅在宽度 $O(1/\sqrt{n})$ 的邻域内有贡献，该邻域积分趋于 $0$。故整体积分趋于 $0$。

由于 $n$ 为自然数，奇偶性不同导致极限不同： - 当 $n$ 为偶数时，极限为 $+\infty$（发散）； - 当 $n$ 为奇数时，极限为 $0$。 因此原极限不存在（依赖于 $n$ 的奇偶性）。