南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．证明 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 沿任意方向的方向导数都存在；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数与方向导数的定义
设函数为分段形式：
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
方向导数定义为：对于单位方向向量 \(\mathbf{v} = (a,b)\)（满足 \(a^2+b^2=1\)），
\[ D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(ta, tb) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(ta, tb)}{t}. \]
公式：D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(ta, tb)}{t}
提示：注意方向向量必须是单位向量，且函数在原点值为0。
步骤 2/5
目标：代入函数表达式并化简
当 \(t \neq 0\) 时，\((ta, tb) \neq (0,0)\)，代入得：
\[ f(ta, tb) = \frac{(ta)^2 (tb)}{(ta)^4 + (tb)^2} = \frac{t^3 a^2 b}{t^4 a^4 + t^2 b^2}. \]
提取分母中的 \(t^2\)：
\[ f(ta, tb) = \frac{t^3 a^2 b}{t^2 (t^2 a^4 + b^2)} = \frac{t a^2 b}{t^2 a^4 + b^2}. \]
于是
\[ \frac{f(ta, tb)}{t} = \frac{a^2 b}{t^2 a^4 + b^2}. \]
公式：\frac{f(ta, tb)}{t} = \frac{a^2 b}{t^2 a^4 + b^2}
提示：化简时注意提取公因子 \(t^2\)，避免遗漏。
步骤 3/5
目标：分情况讨论极限的存在性（情况1：b ≠ 0）
当 \(b \neq 0\) 时，分母 \(t^2 a^4 + b^2 \to b^2 > 0\)（当 \(t \to 0\)），因此
\[ \lim_{t \to 0} \frac{a^2 b}{t^2 a^4 + b^2} = \frac{a^2 b}{b^2} = \frac{a^2}{b}. \]
极限存在，方向导数为 \(\frac{a^2}{b}\)。
公式：\lim_{t \to 0} \frac{a^2 b}{t^2 a^4 + b^2} = \frac{a^2}{b}
提示：注意 \(b \neq 0\) 时分母趋于非零常数，直接代入即可。
步骤 4/5
目标：分情况讨论极限的存在性（情况2：b = 0）
当 \(b = 0\) 时，方向向量为 \((a,0)\)，且 \(a = \pm 1\)。代入得：
\[ f(ta, 0) = \frac{(ta)^2 \cdot 0}{(ta)^4 + 0} = 0, \]
所以
\[ \frac{f(ta,0)}{t} = 0, \]
极限为 0，方向导数存在。
公式：\frac{f(ta,0)}{t} = 0
提示：注意 \(b=0\) 时分子为零，结果恒为0，不要遗漏此情况。
步骤 5/5
目标：总结结论
对任意单位方向 \((a,b)\)，极限都存在，因此函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。具体地：
- 当 \(b \neq 0\) 时，方向导数为 \(\frac{a^2}{b}\)；
- 当 \(b = 0\) 时，方向导数为 \(0\)。
公式：D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \begin{cases} \frac{a^2}{b}, & b \neq 0 \\ 0, & b = 0 \end{cases}
提示：注意方向导数存在并不意味着函数在该点连续或可微。
步骤 6/6
目标：总结证明思路
综上所述，要证明 $f(x,y)$ 在原点沿任意方向的方向导数都存在，通常需要假设 $f$ 在原点可微，或者满足 $|f(x,y)|\leq \varphi(\sqrt{x^2+y^2})$ 且 $\varphi(r)=o(r)$，或者 $f$ 沿每条射线可导。具体证明需根据题目给出的 $f$ 的形式选择合适的方法。
提示：注意：方向导数存在并不保证函数可微，例如 $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ 在原点沿任意方向的方向导数均为0，但不可微。
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