南京信息工程大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断函数在原点是否连续
令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，有 $|f(x,y)-0| = \left|\frac{r^3\cos^3\theta}{r^2}\right| = r|\cos^3\theta| \le r$。当 $r \to 0$ 时，$|f(x,y)-0| \to 0$，即 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，故函数在原点连续。
公式：$|f(x,y)-0| = r|\cos^3\theta| \le r \to 0$
提示：连续性是可微的必要条件，必须先验证。使用极坐标变换是处理分式型函数极限的常用技巧。
步骤 2/6
目标：计算一阶偏导数在原点处的值
按定义计算：
$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h^3/h^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1$。
$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0}\frac{0}{k}=0$。
公式：$f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=0$
提示：偏导存在是可微的必要条件，但并非充分条件。注意沿坐标轴方向代入计算。
步骤 3/6
目标：写出可微性定义所需的极限表达式
函数在原点可微当且仅当
$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。
代入 $f(h,k)=\frac{h^3}{h^2+k^2}$，$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=0$，得
$\frac{\frac{h^3}{h^2+k^2} - h}{\sqrt{h^2+k^2}}$。
公式：$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{\frac{h^3}{h^2+k^2} - h}{\sqrt{h^2+k^2}}$
提示：注意分子中的线性项 $h$ 来自偏导数，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：化简极限表达式
通分分子：$\frac{h^3}{h^2+k^2} - h = \frac{h^3 - h(h^2+k^2)}{h^2+k^2} = \frac{-h k^2}{h^2+k^2}$。
因此原极限变为
$\frac{-h k^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{-h k^2}{(h^2+k^2)^{3/2}}$。
公式：$\frac{-h k^2}{(h^2+k^2)^{3/2}}$
提示：化简时注意分母的幂次，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：选取特殊路径判断极限是否为零
取路径 $h=t, k=t$，则表达式为
$\frac{-t \cdot t^2}{(t^2+t^2)^{3/2}} = \frac{-t^3}{(2t^2)^{3/2}} = \frac{-t^3}{2^{3/2}|t|^3}$。
当 $t>0$ 时，值为 $-\frac{1}{2^{3/2}}$，当 $t\to 0$ 时，极限为 $-\frac{1}{2^{3/2}} \neq 0$。
公式：$\lim_{t\to 0} \frac{-t^3}{2^{3/2}|t|^3} = -\frac{1}{2^{3/2}} \neq 0$
提示：选取 $h=k$ 的路径是常见技巧，注意 $|t|^3$ 的处理，确保极限不为零即可否定可微性。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于沿路径 $h=k$ 的极限不为零，因此原极限不趋于0，故函数在原点不可微。
提示：可微性要求所有路径下极限均为0，找到一条反例即可否定。
步骤 7/8
目标：判断极限是否存在
由于极限值依赖于方向 $\theta$，例如：
- 沿 $\theta=0$（即 $k=0$），极限为 $0$；
- 沿 $\theta=\pi/4$，极限为 $-\frac{\sqrt{2}}{4} \neq 0$。
因此极限不存在，故 $f$ 在原点不可微。
提示：若极限依赖于路径，则极限不存在。
步骤 8/8
目标：得出结论
函数 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 不可微。
提示：可微性要求线性近似误差的高阶无穷小性质。
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