南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．求函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{x}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取对数转化为0·∞型不定式
设 $L = \lim_{x \to 0^+} \left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)^x$，则 $\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln\left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)$。由于 $x \to 0^+$ 时 $\int_0^x e^{t^2} dt \to 0$，$\ln(\cdot) \to -\infty$，故为 $0 \cdot \infty$ 型不定式。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln\left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)
提示：注意对数内趋于0，对数趋于负无穷，不能直接代入。
步骤 2/5
目标：改写为分式形式以应用洛必达法则
将 $0 \cdot \infty$ 型化为 $\frac{-\infty}{+\infty}$ 型：$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)}{1/x}$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln\left( \int_0^x e^{t^2} dt \right)}{1/x}
提示：分子分母都趋于无穷，满足洛必达条件。
步骤 3/5
目标：对分子分母分别求导
分母导数为 $\frac{d}{dx}(1/x) = -1/x^2$。分子导数为 $\frac{d}{dx} \ln\left( \int_0^x e^{t^2} dt \right) = \frac{e^{x^2}}{\int_0^x e^{t^2} dt}$。应用洛必达法则得：$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{x^2} / \int_0^x e^{t^2} dt}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( -\frac{x^2 e^{x^2}}{\int_0^x e^{t^2} dt} \right)$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0^+} \left( -\frac{x^2 e^{x^2}}{\int_0^x e^{t^2} dt} \right)
提示：求导时注意分子是复合函数，使用链式法则。
步骤 4/5
目标：利用等价无穷小简化分母积分
当 $x \to 0^+$ 时，$e^{t^2} \sim 1$，故 $\int_0^x e^{t^2} dt \sim \int_0^x 1 \, dt = x$。更精确地，$\int_0^x e^{t^2} dt = x + \frac{x^3}{3} + \cdots$。因此 $\frac{x^2 e^{x^2}}{\int_0^x e^{t^2} dt} \sim \frac{x^2 \cdot 1}{x} = x$，所以 $\ln L = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$。
公式：\int_0^x e^{t^2} dt \sim x \quad (x \to 0^+)
提示：等价无穷小替换时需确认分母的主项为x，且分子e^{x^2}→1。
步骤 5/5
目标：还原得到原极限值
由 $\ln L = 0$ 得 $L = e^0 = 1$。
公式：L = e^{\ln L} = e^0 = 1
提示：取对数后结果需还原，注意指数运算。
步骤 6/6
目标：得出对数极限
由上述计算得 $\ln L = -0 = 0$，因此 $L = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{x \to 0^+} \ln L = 0 \Rightarrow L = 1$
提示：取对数后极限为0，原极限为1。
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