南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．定积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x(a>0)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别被积函数的几何意义
被积函数 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 表示圆心在原点、半径为 \(a\) 的上半圆的纵坐标。积分区间从 \(0\) 到 \(a\)，因此该定积分表示半径为 \(a\) 的圆在第一象限部分的面积。
公式：\sqrt{a^2 - x^2}
提示：注意被积函数非负，且积分区间为 \([0,a]\)，几何意义明确。
步骤 2/5
目标：进行三角换元
令 \(x = a \sin t\)，则 \(dx = a \cos t \, dt\)。当 \(x=0\) 时，\(t=0\)；当 \(x=a\) 时，\(t = \frac{\pi}{2}\)。被积函数化为 \(\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} = a \sqrt{\cos^2 t} = a |\cos t|\)。在 \(t \in [0, \frac{\pi}{2}]\) 上，\(\cos t \ge 0\)，故 \(|\cos t| = \cos t\)。
公式：x = a \sin t, \quad dx = a \cos t \, dt
提示：换元后注意积分限的对应，以及绝对值符号的处理。
步骤 3/5
目标：代入积分并化简
原积分化为 \(\int_{0}^{\pi/2} (a \cos t) \cdot (a \cos t \, dt) = a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt\)。
公式：\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt
提示：注意系数 \(a^2\) 不要遗漏。
步骤 4/5
目标：利用倍角公式计算 \(\cos^2 t\) 的积分
使用倍角公式 \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\)，则 \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\pi/2}\)。代入上下限：\(t = \pi/2\) 时，\(t = \pi/2\)，\(\sin 2t = \sin \pi = 0\)；\(t=0\) 时值为 \(0\)。结果为 \(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\)。
公式：\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}
提示：计算定积分时，注意代入上下限要准确，\(\sin 2t\) 在端点处为零。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原积分 \(= a^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^2}{4}\)。几何验证：半径为 \(a\) 的圆面积为 \(\pi a^2\)，第一象限面积为四分之一，即 \(\frac{\pi a^2}{4}\)，结果一致。
公式：\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4}
提示：最终答案应化简为最简形式，并注意 \(a>0\) 的条件。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
两项相加得 $\frac{\pi a^2}{4} + 0 = \frac{\pi a^2}{4}$。因此，定积分的值为 $\frac{\pi a^2}{4}$。
公式：$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4}$
提示：结果与几何意义一致，可作为验证。
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