南京信息工程大学 2022年数学分析第0题

一致连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x,y$ 满足 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。要证明非一致连续，只需找到某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，都存在两点 $x,y$ 满足 $|x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\ge \varepsilon_0$。

取 $\varepsilon_0=1$。构造点列：$x_n=\frac{1}{2n\pi}$，$y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi}$，$n\in\mathbb{N}^+$。计算两点距离：$|x_n-y_n|=\left|\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{(2n+1)\pi}\right|=\frac{1}{2n(2n+1)\pi}$。当 $n\to\infty$ 时，$|x_n-y_n|\to 0$，因此对任意 $\delta>0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$。计算函数值：$f(x_n)=\cos(2n\pi)=1$，$f(y_n)=\cos((2n+1)\pi)=-1$，故 $|f(x_n)-f(y_n)|=2>1=\varepsilon_0$。因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。

在区间 $(a,+\infty)$ 上，$x\ge a>0$，因此 $\frac{1}{x}\in(0,\frac{1}{a}]$。函数 $f(x)=\cos\frac{1}{x}$ 可视为 $\cos u$ 与 $u=\frac{1}{x}$ 的复合。由于 $\cos u$ 在 $\mathbb{R}$ 上 Lipschitz 连续（导数的绝对值 $\le 1$），而 $u=\frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上 Lipschitz 连续（导数的绝对值 $\le \frac{1}{a^2}$），因此复合函数在 $[a,+\infty)$ 上 Lipschitz 连续，从而一致连续。

对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=a^2\varepsilon$。则对任意 $x,y\ge a$，当 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|\le\frac{|x-y|}{a^2}<\frac{a^2\varepsilon}{a^2}=\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。

对任意 $x_1, x_2 \in (a, +\infty)$，不妨设 $x_1 < x_2$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $|f(x_1) - f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1 - x_2| \le \frac{1}{a^2} |x_1 - x_2|$。对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = a^2 \varepsilon$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| \le \frac{1}{a^2} \cdot a^2 \varepsilon = \varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上一致连续。

综上所述，$f(x) = \cos\frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上非一致连续，因为存在点列 $x_n = \frac{1}{2n\pi}$ 和 $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ 使得距离趋于 $0$ 但函数值差恒为 $2$；而在 $(a, +\infty)$（$a>0$）上，由于导数有界，通过拉格朗日中值定理可证得一致连续。

因此，$f(x)$ 在 $(a,+\infty)$（$a>0$）上一致连续。