南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．判断是否正确
（1）若函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数。
（2）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个累次极限都存在且相等，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的重极限也存在
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析命题（1）：可积与原函数存在的关系
回忆黎曼可积的定义：函数在闭区间上有界且不连续点集为零测度时，定积分存在。原函数存在要求存在可导函数$F(x)$使得$F'(x)=f(x)$在区间每一点成立。可积函数允许有第一类间断点，但根据达布定理，导函数不能有第一类间断点，因此可积不能保证原函数存在。
公式：达布定理：若$F$在$[a,b]$可导，则$F'$具有介值性质，不能有第一类间断点。
提示：注意区分定积分存在（可积）与不定积分存在（原函数存在）是两个不同的概念。
步骤 2/6
目标：构造反例说明命题（1）错误
考虑函数$f(x)=\begin{cases}0, & x\neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases}$在区间$[-1,1]$上。该函数仅在$x=0$处不连续，因此黎曼可积。假设存在原函数$F$，则$F'(0)=1$，但由导数极限定理，$F'(0)$应等于$\lim_{x\to0}F'(x)=0$，矛盾。故原函数不存在。
公式：导数极限定理：若$F$在$x_0$处可导，且$\lim_{x\to x_0}F'(x)$存在，则$F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}F'(x)$。
提示：第一类间断点处的函数值不影响可积性，但会破坏原函数的存在性。
步骤 3/6
目标：得出结论（1）
由于存在可积但无原函数的反例，命题“若函数$f(x)$在有限区间$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上存在原函数”是错误的。
步骤 4/6
目标：分析命题（2）：累次极限与重极限的关系
累次极限是依次沿不同方向取极限：$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)$和$\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)$。重极限是$(x,y)$同时趋于$(x_0,y_0)$时的极限。两个累次极限存在且相等不能保证重极限存在，因为重极限要求所有路径的极限一致。
公式：重极限定义：$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=L$当且仅当对任意路径$\gamma$趋于$(x_0,y_0)$，有$\lim_{(x,y)\in\gamma}f(x,y)=L$。
提示：累次极限只考虑了两条特殊路径（先x后y和先y后x），而重极限需要考虑所有可能的路径。
步骤 5/6
目标：构造反例说明命题（2）错误
考虑函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$在点$(0,0)$处。先固定$x\neq0$，令$y\to0$得$0$，再令$x\to0$得$0$；同理另一累次极限也为$0$。但沿直线$y=x$趋于$(0,0)$时，$f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$，而沿$y=0$时极限为$0$，故重极限不存在。
公式：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$，沿$y=kx$路径：$\lim_{x\to0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}$，依赖$k$。
提示：重极限不存在时，累次极限仍可能相等，注意不要混淆。
步骤 6/6
目标：得出结论（2）
由于存在累次极限相等但重极限不存在的反例，命题“若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的两个累次极限都存在且相等，则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的重极限也存在”是错误的。
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