南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，判断绝对收敛或条件收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：考虑绝对值级数，判断绝对收敛性
考虑原级数的绝对值级数：
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}.\]
当 $n \to \infty$ 时，$\arctan n \to \frac{\pi}{2}$，因此通项 $\frac{\arctan n}{\sqrt{n}} \sim \frac{\pi/2}{\sqrt{n}}$。
而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $p = \frac{1}{2}$ 的 $p$-级数，发散（因为 $p \le 1$）。由比较判别法，绝对值级数发散，故原级数不绝对收敛。
公式：\frac{\arctan n}{\sqrt{n}} \sim \frac{\pi/2}{\sqrt{n}}, \quad \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \text{发散}
提示：注意 $\arctan n$ 当 $n$ 很大时趋近于常数 $\pi/2$，不要误以为它趋于0。
步骤 2/4
目标：验证交错级数莱布尼茨判别法的条件：通项趋于0
原级数是交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$，其中 $a_n = \frac{\arctan n}{\sqrt{n}} > 0$。
计算极限：
\[\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}} = \frac{\pi/2}{\infty} = 0.\]
因此第二个条件满足。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}} = 0
提示：极限计算时注意 $\arctan n$ 有界，分母 $\sqrt{n} \to \infty$，故极限为0。
步骤 3/4
目标：验证莱布尼茨判别法的条件：通项单调递减
考虑函数 $f(x) = \frac{\arctan x}{\sqrt{x}}, x>0$，求导：
\[f'(x) = \frac{ \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{x} - \arctan x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} }{x} = \frac{ \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} - \frac{\arctan x}{2\sqrt{x}} }{x}.\]
分子通分后为：
\[\frac{2x - (1+x^2)\arctan x}{2\sqrt{x}(1+x^2)}.\]
当 $x$ 充分大时，$\arctan x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \cdots$，代入分子得：
\[2x - (1+x^2)\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \cdots\right) \approx 2x - \frac{\pi}{2}(1+x^2) + \frac{1+x^2}{x}.\]
主要项为 $-\frac{\pi}{2}x^2$，故当 $x$ 足够大时分子为负，从而 $f'(x) < 0$。因此存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n$ 单调递减。
公式：f'(x) = \frac{2x - (1+x^2)\arctan x}{2x^{3/2}(1+x^2)}
提示：单调性只需验证从某项开始递减即可，不必对所有 $n$ 成立。也可通过比较 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的大小来证明。
步骤 4/4
目标：应用莱布尼茨判别法并得出结论
由前两步，$a_n$ 最终单调递减且趋于0，满足莱布尼茨判别法条件，故原交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 收敛。
结合第一步绝对值级数发散，可知原级数为条件收敛。
公式：\text{莱布尼茨判别法：} a_n \searrow 0 \Rightarrow \sum (-1)^n a_n \text{收敛}
提示：条件收敛意味着级数本身收敛但绝对值级数发散，注意与绝对收敛区分。
步骤 5/6
目标：分析分子符号，确定单调性
当 $x$ 很大时，利用 $\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$，代入分子：
$$g(x) = 2x - (1+x^2)\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)$$
展开得：$g(x) = 2x - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}x^2 + x + \frac{1}{x} + \cdots = -\frac{\pi}{2}x^2 + 3x - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{x} + \cdots$。
当 $x$ 充分大时，主导项 $-\frac{\pi}{2}x^2$ 为负，故 $g(x)<0$，从而 $f'(x)<0$，函数最终单调递减。因此 $a_n$ 从某项起单调递减。
公式：$g(x) \sim -\frac{\pi}{2}x^2$（当 $x\to\infty$）
提示：也可直接证明 $a_{n+1} < a_n$ 对充分大的 $n$ 成立，避免复杂展开。
步骤 6/6
目标：得出结论
由莱布尼茨判别法，原交错级数收敛。但绝对值级数发散，故原级数条件收敛。
提示：条件收敛意味着级数本身收敛，但绝对值级数发散。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。