南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
6．求 $f(x, y)=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 下的最值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与求解思路
题目要求函数 $f(x,y)=2x^2+3xy+2y^2$ 在闭区域 $x^2+y^2 \le 1$ 上的最大值和最小值。由于函数连续且区域闭有界，最值可能在内部（$x^2+y^2<1$）或边界（$x^2+y^2=1$）达到。
提示：注意区分内部极值和边界条件极值，两者都需要考虑。
步骤 2/7
目标：求内部驻点
在内部 $x^2+y^2<1$ 中，极值点满足梯度为零：
$$\frac{\partial f}{\partial x}=4x+3y=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=3x+4y=0$$
解方程组：由 $4x+3y=0$ 得 $x=-\frac{3}{4}y$，代入第二式得 $3(-\frac{3}{4}y)+4y=0$，即 $-\frac{9}{4}y+4y=0$，解得 $y=0$，从而 $x=0$。唯一驻点为 $(0,0)$，函数值 $f(0,0)=0$。
公式：\nabla f = (4x+3y, 3x+4y) = (0,0)
提示：内部驻点必须满足梯度为零，且该点需在圆内，此处 $(0,0)$ 显然满足。
步骤 3/7
目标：边界条件极值——构造拉格朗日函数
边界条件为 $x^2+y^2=1$，构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,\lambda)=2x^2+3xy+2y^2-\lambda(x^2+y^2-1)$$
求偏导并令其为零：
$$\frac{\partial L}{\partial x}=4x+3y-2\lambda x=0 \quad (1)$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}=3x+4y-2\lambda y=0 \quad (2)$$
$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^2+y^2-1)=0 \quad (3)$$
公式：L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(x^2+y^2-1)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束，注意偏导计算不要遗漏 $-2\lambda x$ 项。
步骤 4/7
目标：求解拉格朗日方程组——特征值条件
将 (1)(2) 整理为齐次线性方程组：
$$(4-2\lambda)x+3y=0$$
$$3x+(4-2\lambda)y=0$$
由于边界上 $(x,y)\neq(0,0)$，方程组有非零解，故系数行列式为零：
$$\begin{vmatrix}4-2\lambda & 3 \\ 3 & 4-2\lambda\end{vmatrix}=0$$
计算得 $(4-2\lambda)^2-9=0$，即 $(4-2\lambda)^2=9$，解得 $4-2\lambda=\pm3$，即 $\lambda=\frac12$ 或 $\lambda=\frac72$。
公式：\det\begin{pmatrix}4-2\lambda & 3 \\ 3 & 4-2\lambda\end{pmatrix}=0
提示：齐次线性方程组有非零解的条件是行列式为零，这是关键步骤。
步骤 5/7
目标：情况1：λ=1/2 对应的边界点与函数值
将 $\lambda=\frac12$ 代入 (1) 式：$4x+3y-2\cdot\frac12 x=3x+3y=0$，得 $y=-x$。代入边界 $x^2+y^2=1$ 得 $2x^2=1$，$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，$y=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}$。计算函数值：
$$f=2x^2+3x(-x)+2x^2=2x^2-3x^2+2x^2=x^2=\frac12$$
公式：f=x^2=\frac12
提示：注意代入 $y=-x$ 后化简，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：情况2：λ=7/2 对应的边界点与函数值
将 $\lambda=\frac72$ 代入 (1) 式：$4x+3y-2\cdot\frac72 x=-3x+3y=0$，得 $y=x$。代入边界 $x^2+y^2=1$ 得 $2x^2=1$，$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，$y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。计算函数值：
$$f=2x^2+3x\cdot x+2x^2=2x^2+3x^2+2x^2=7x^2=\frac72$$
公式：f=7x^2=\frac72
提示：注意 $y=x$ 时 $3xy=3x^2$，不要漏项。
步骤 7/7
目标：比较所有候选值，得出最值
内部驻点：$f(0,0)=0$；边界点：$f=\frac12$ 和 $f=\frac72$。比较可知，最小值为 $0$，最大值为 $\frac72$。
公式：\min f = 0, \quad \max f = \frac{7}{2}
提示：闭区域最值需比较内部和边界所有候选点，不要遗漏。
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