南京信息工程大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d y$ ，其中 $L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 按 $x$ 增大方向。
絮 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$
（2）方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上存在两个实根。
入．设 立为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1, z=2$ 之间的外侧表面，求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析曲线积分形式，判断是否恰当或可用格林公式
记 $P(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，$Q(x,y)=y\left(xy+\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})\right)=xy^2+y\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，
$\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。
两者之差为 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y^2$，不为零，故不是恰当微分，但可用格林公式。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y^2$
提示：注意格林公式要求封闭曲线，且方向为正向（逆时针）。
步骤 2/8
目标：应用格林公式转化为二重积分
曲线 $L$ 为 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$，加上 $x$ 轴从 $(\pi,0)$ 回到 $(0,0)$ 构成封闭曲线 $C$，方向为顺时针。格林公式给出正向封闭曲线积分等于 $\iint_D y^2\,dxdy$，其中 $D$ 为 $0\le x\le\pi$，$0\le y\le\sin x$。由于 $L$ 方向与正向相反，故 $\int_L = -\iint_D y^2\,dxdy$。沿 $x$ 轴段 $y=0$，$dy=0$，积分为零。
公式：$\int_L P\,dx+Q\,dy = -\iint_D y^2\,dxdy$
提示：注意方向：题目中 $L$ 沿 $x$ 增大方向，与封闭正向相反，需取负号。
步骤 3/8
目标：计算二重积分
$\iint_D y^2\,dxdy = \int_{x=0}^{\pi}\int_{y=0}^{\sin x} y^2\,dy\,dx = \int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{3}\,dx$。
计算 $\int_0^\pi \sin^3 x\,dx = \int_0^\pi \sin x(1-\cos^2 x)\,dx$，令 $u=\cos x$，$du=-\sin x\,dx$，积分限 $u:1\to -1$，得 $\int_{-1}^1 (1-u^2)\,du = \frac{4}{3}$。故二重积分值为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{9}$。
公式：$\int_0^\pi \sin^3 x\,dx = \frac{4}{3}$
提示：计算 $\sin^3 x$ 积分时常用换元 $u=\cos x$，注意符号变化。
步骤 4/8
目标：得出曲线积分结果
由格林公式，$\int_L = -\frac{4}{9}$。
公式：$\boxed{-\frac{4}{9}}$
提示：最终结果需带负号，勿遗漏。
步骤 5/8
目标：证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=0$
已知 $f(a)=f(b)=0$，且 $f'(a)\cdot f'(b)>0$，不妨设 $f'(a)>0$，$f'(b)>0$。由 $f'(a)>0$，存在 $x_1>a$ 使 $f(x_1)>0$；由 $f'(b)>0$，存在 $x_2
公式：介值定理
提示：注意 $f'(b)>0$ 说明在 $b$ 左侧附近 $f(x)<0$，这是关键。
步骤 6/8
目标：证明方程 $f'(x)+f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 上存在两个实根
构造辅助函数 $F(x)=e^x f(x)$，则 $F'(x)=e^x(f'(x)+f(x))$，故 $f'(x)+f(x)=0$ 的根等价于 $F'(x)=0$ 的根。由已知 $f(a)=f(\xi)=f(b)=0$，得 $F(a)=F(\xi)=F(b)=0$。在区间 $(a,\xi)$ 和 $(\xi,b)$ 上分别应用罗尔定理，存在 $\eta_1\in(a,\xi)$，$\eta_2\in(\xi,b)$ 使得 $F'(\eta_1)=F'(\eta_2)=0$，即 $f'(x)+f(x)=0$ 有两个不同实根。
公式：$F(x)=e^x f(x)$，$F'(x)=e^x(f'(x)+f(x))$
提示：构造 $e^x f(x)$ 是处理 $f'+f$ 类型问题的常用技巧。
步骤 7/8
目标：将曲面积分转化为三重积分（高斯公式）
曲面 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=1$ 和 $z=2$ 之间的外侧表面。补上底面 $S_1: z=1$（法向向下）和顶面 $S_2: z=2$（法向向上）构成封闭曲面。由高斯公式，$\iint_{\Sigma\cup S_1\cup S_2} x^3\,dydz+y^3\,dzdx+z^3\,dxdy = \iiint_V (3x^2+3y^2+3z^2)\,dV$，其中 $V$ 为锥体 $1\le z\le 2$，$0\le r\le z$。
公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意高斯公式要求封闭曲面，需补面并考虑方向。
步骤 8/8
目标：计算三重积分并减去补面的贡献
用柱坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$，被积函数 $3(x^2+y^2+z^2)=3(r^2+z^2)$。积分区域：$\theta\in[0,2\pi]$，$z\in[1,2]$，$r\in[0,z]$。
$\iiint_V 3(r^2+z^2)\,r\,dr\,d\theta\,dz = 3\int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 dz \int_0^z (r^3+rz^2)\,dr$。
先对 $r$ 积分：$\int_0^z r^3\,dr = \frac{z^4}{4}$，$\int_0^z rz^2\,dr = \frac{z^4}{2}$，和为 $\frac{3z^4}{4}$。再对 $z$ 积分：$\int_1^2 \frac{3z^4}{4}\,dz = \frac{3}{4}\cdot\frac{2^5-1^5}{5} = \frac{3}{4}\cdot\frac{31}{5} = \frac{93}{20}$。乘以 $3\cdot2\pi = 6\pi$，得 $\frac{93}{20}\cdot6\pi = \frac{279\pi}{10}$。
补面 $S_1$（$z=1$，法向向下）：$\iint_{S_1} z^3\,dxdy = -\iint_{x^2+y^2\le 1} 1^3\,dxdy = -\pi$（其他项为零）。
补面 $S_2$（$z=2$，法向向上）：$\iint_{S_2} z^3\,dxdy = \iint_{x^2+y^2\le 4} 2^3\,dxdy = 8\cdot4\pi = 32\pi$。
故原曲面积分 $= \frac{279\pi}{10} - (-\pi + 32\pi) = \frac{279\pi}{10} - 31\pi = \frac{279\pi - 310\pi}{10} = -\frac{31\pi}{10}$。
公式：$\iiint_V 3(r^2+z^2)\,r\,dr\,d\theta\,dz = \frac{279\pi}{10}$，补面贡献 $31\pi$
提示：补面方向需与高斯公式的外法向一致，注意符号。
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