南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(1 \cdot \sqrt{1+\frac{1^{2}}{n^{2}}}+2 \cdot \sqrt{1+\frac{2^{2}}{n^{2}}}+\cdots+n \cdot \sqrt{1+\frac{n^{2}}{n^{2}}}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限表达式改写为Riemann和的形式
原极限为：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}}
\]
将因子 \frac{1}{n^2} 拆分为 \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}，并将求和项中的 k 写成 \frac{k}{n} \cdot n，得到：
\[
\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}
\]
公式：\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}
提示：注意将 k 与 1/n^2 结合时，要确保最终形式为 (1/n) * f(k/n)，其中 f(x) = x sqrt(1+x^2)。
步骤 2/4
目标：识别Riemann和并转化为定积分
当 n → ∞ 时，\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} 是函数 f(x) = x \sqrt{1+x^2} 在区间 [0,1] 上的Riemann和，其中分割点 x_k = k/n，小区间宽度 Δx = 1/n。因此极限等于定积分：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} = \int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx
\]
公式：\int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx
提示：确认积分区间为 [0,1]，因为 k/n 从 0 到 1。
步骤 3/4
目标：使用换元法计算定积分
令 u = 1 + x^2，则 du = 2x dx，即 x dx = \frac{1}{2} du。当 x = 0 时，u = 1；当 x = 1 时，u = 2。积分变为：
\[
\int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx = \int_{1}^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{1/2} \, du
\]
公式：\int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{1/2} \, du
提示：换元后注意积分上下限的对应变化，不要忘记 du 前的系数 1/2。
步骤 4/4
目标：计算积分并得出极限值
计算 \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{1/2} \, du：
\[
\frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1)
\]
因此原极限的值为：
\[
\boxed{\frac{2\sqrt{2}-1}{3}}
\]
公式：\frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1)
提示：注意 2^{3/2} = 2\sqrt{2}，不要计算错误。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，原极限的值为：
\[
\boxed{\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}}
\]
公式：\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}
提示：最终结果要化简，并注意根号形式。
步骤 6/6
目标：总结极限值
因此原极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}} = \frac{1}{3}(2\sqrt{2} - 1)$。
提示：最终结果应化简为最简形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。