南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\left(\frac{a^{x}-1}{a-1}\right) x\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别极限类型并取对数
观察到极限形式为 $\left( f(x) \right)^{1/x}$，当 $x \to +\infty$ 时，底数 $f(x)$ 趋于无穷大，指数 $1/x$ 趋于 $0$，属于 $\infty^0$ 型不定式。通常处理方法是对数化：令 $L = \lim_{x\to+\infty} \left( \left( \frac{a^x-1}{a-1} \right) x \right)^{1/x}$，则 $\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{a^x-1}{a-1} \cdot x \right)$。
公式：$\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{a^x-1}{a-1} \cdot x \right)$
提示：注意 $\infty^0$ 型不定式不能直接计算，取对数是标准方法。
步骤 2/6
目标：分情况讨论：当 $a>1$ 时化简内部表达式
当 $a>1$ 时，$x\to+\infty$，$a^x$ 增长极快，故 $a^x-1 \sim a^x$。于是 $\frac{a^x-1}{a-1} \sim \frac{a^x}{a-1}$。因此 $\ln\left( \frac{a^x-1}{a-1} \cdot x \right) \sim \ln\left( \frac{a^x}{a-1} \cdot x \right) = x\ln a + \ln x - \ln(a-1)$。
公式：$\frac{a^x-1}{a-1} \sim \frac{a^x}{a-1}$
提示：使用等价无穷大替换时，需确保分母 $a-1>0$ 且 $a^x$ 是主导项。
步骤 3/6
目标：计算 $a>1$ 时的极限
代入对数表达式：$\frac{1}{x} \ln\left( \frac{a^x-1}{a-1} \cdot x \right) \sim \frac{x\ln a + \ln x - \ln(a-1)}{x} = \ln a + \frac{\ln x}{x} - \frac{\ln(a-1)}{x}$。当 $x\to+\infty$，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，$\frac{\ln(a-1)}{x} \to 0$，故极限为 $\ln a$。因此 $\ln L = \ln a$，即 $L = a$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \left( \ln a + \frac{\ln x}{x} - \frac{\ln(a-1)}{x} \right) = \ln a$
提示：注意 $\frac{\ln x}{x} \to 0$ 是常用极限，需熟练掌握。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：当 $0
当 $0 0$。因此 $\left( \frac{a^x-1}{a-1} \right) x \sim \frac{x}{1-a}$。
公式：$\frac{a^x-1}{a-1} \sim \frac{1}{1-a}$
提示：此时 $a-1<0$，但 $\frac{1}{1-a}$ 为正数，注意符号处理。
步骤 5/6
目标：计算 $0
取对数：$\ln\left( \frac{x}{1-a} \right) = \ln x - \ln(1-a)$。于是 $\frac{1}{x} \ln\left( \frac{x}{1-a} \right) = \frac{\ln x}{x} - \frac{\ln(1-a)}{x}$。当 $x\to+\infty$，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，$\frac{\ln(1-a)}{x} \to 0$，故极限为 $0$。因此 $\ln L = 0$，即 $L = 1$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \left( \frac{\ln x}{x} - \frac{\ln(1-a)}{x} \right) = 0$
提示：注意 $\ln(1-a)$ 是常数，除以 $x$ 后趋于 $0$。
步骤 6/6
目标：综合结论并给出最终答案
综合两种情况：当 $a>1$ 时，极限为 $a$；当 $0
公式：$\lim_{x\to+\infty} \left( \left( \frac{a^x-1}{a-1} \right) x \right)^{1/x} = \begin{cases} a, & a>1 \\ 1, & 0
提示：注意分情况讨论时，$a>1$ 和 $0
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