南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．（本题满分 15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．
讨论下列问题：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性；
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数；
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断函数在(0,0)的连续性
考虑极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$。使用极坐标变换：令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $f(x,y)=r(\cos^3\theta-\sin^3\theta)$。由于 $|\cos^3\theta-\sin^3\theta|\le 2$，故 $|f(x,y)|\le 2r\to 0$ 当 $r\to 0$。因此极限为 $0$，等于 $f(0,0)=0$，所以函数在原点连续。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$
提示：注意极坐标变换后，要确保表达式有界，才能用夹逼定理。
步骤 2/4
目标：计算任意方向的方向导数
设方向单位向量 $\mathbf{l}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}$。代入 $f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)=t(\cos^3\alpha-\sin^3\alpha)$，得差商为 $\cos^3\alpha-\sin^3\alpha$，与 $t$ 无关，故极限存在且等于该值。
公式：$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)=\cos^3\alpha-\sin^3\alpha$
提示：方向导数定义中，$t$ 可正可负，但这里表达式与 $t$ 无关，所以极限直接得到。
步骤 3/4
目标：求偏导数
由方向导数公式，取 $\alpha=0$ 得 $f_x(0,0)=\cos^3 0-\sin^3 0=1$；取 $\alpha=\pi/2$ 得 $f_y(0,0)=\cos^3(\pi/2)-\sin^3(\pi/2)=-1$。
公式：$f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=-1$
提示：偏导数是方向导数的特例，注意方向导数的结果已经包含了偏导数。
步骤 4/4
目标：检验可微性
可微需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-[f_x(0,0)h+f_y(0,0)k]}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $f(h,k)=\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2}$，分子化为 $\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2}-(h-k)=\frac{hk(h-k)}{h^2+k^2}$，故差商为 $\frac{hk(h-k)}{(h^2+k^2)^{3/2}}$。取路径 $h=2k$（$k>0$），得比值为 $\frac{2}{5^{3/2}}\neq 0$，故极限不趋于 $0$，不可微。
公式：$\frac{hk(h-k)}{(h^2+k^2)^{3/2}}$ 沿路径 $h=2k$ 不趋于 $0$
提示：可微性检验常用反例路径，如 $h=2k$ 或 $h=k$ 等，需注意分子分母阶数。
步骤 5/5
目标：判断极限是否存在
取路径 $k=2h$（$h>0$），则 $\frac{h\cdot 2h(2h-h)}{(h^2+4h^2)^{3/2}}=\frac{2h^3}{5^{3/2}h^3}=\frac{2}{5^{3/2}}\neq 0$；取路径 $h=k$ 得极限为0。极限依赖于路径，故不存在，因此不可微。
公式：沿 $k=2h$ 得极限 $\frac{2}{5^{3/2}}$
提示：选择不同路径得到不同极限值即可说明极限不存在，注意 $h>0$ 时 $|h|=h$。
步骤 6/7
目标：化简表达式
化简 $\cos^3\theta-\sin^3\theta-\cos\theta+\sin\theta = (\cos\theta-\sin\theta)(\cos^2\theta+\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta-1) = (\cos\theta-\sin\theta)(1+\cos\theta\sin\theta-1) = (\cos\theta-\sin\theta)\cos\theta\sin\theta$。所以 $\frac{|\Delta f|}{\rho}=|(\cos\theta-\sin\theta)\cos\theta\sin\theta|$。
公式：三角恒等式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
提示：注意 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$。
步骤 7/7
目标：判断可微性
取 $\theta = \frac{\pi}{6}$，则 $\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=\frac{1}{2}$，$\frac{|\Delta f|}{\rho}=|(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}|=\frac{3-\sqrt{3}}{8}\neq 0$。由于 $\frac{|\Delta f|}{\rho}$ 不随 $r$ 变化，沿此方向趋于 $(0,0)$ 时极限不为 $0$，因此 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。
公式：可微的充要条件：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|\Delta f|}{\rho}=0$
提示：只需找到一个方向使 $\frac{|\Delta f|}{\rho}$ 不趋于 $0$ 即可。
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