南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且
$$
f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x
$$
证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用积分中值定理得到存在c∈(1,2)使得f(c)=∫₁²f(x)dx
由积分中值定理，存在$c \in (1,2)$，使得
$$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = f(c) \cdot (2-1) = f(c).$$
结合已知条件$f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) \, dx$，可得
$$f(1)=f(2)=f(c).$$
公式：\int_{1}^{2} f(x) \, dx = f(c), \quad c \in (1,2)
提示：注意积分中值定理要求被积函数连续，题目中f具有二阶连续导数，因此连续条件满足。
步骤 2/4
目标：在区间[1,c]上应用罗尔定理得到存在ξ₁∈(1,c)使得f'(ξ₁)=0
由于$f(1)=f(c)$，且$f$在$[1,c]$上连续，在$(1,c)$内可导，由罗尔定理，存在$\xi_1 \in (1,c)$，使得$f'(\xi_1)=0$。
公式：f'(\xi_1)=0, \quad \xi_1 \in (1,c)
提示：罗尔定理的三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。
步骤 3/4
目标：在区间[c,2]上应用罗尔定理得到存在ξ₂∈(c,2)使得f'(ξ₂)=0
由于$f(c)=f(2)$，且$f$在$[c,2]$上连续，在$(c,2)$内可导，由罗尔定理，存在$\xi_2 \in (c,2)$，使得$f'(\xi_2)=0$。
公式：f'(\xi_2)=0, \quad \xi_2 \in (c,2)
提示：注意ξ₁和ξ₂是不同的点，且ξ₁<ξ₂。
步骤 4/4
目标：在区间[ξ₁,ξ₂]上对f'应用罗尔定理得到存在ξ∈(ξ₁,ξ₂)使得f''(ξ)=0
由于$f$具有二阶连续导数，故$f'$在$[\xi_1,\xi_2]$上连续，在$(\xi_1,\xi_2)$内可导，且$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$。由罗尔定理，存在$\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (1,2)$，使得$f''(\xi)=0$。
公式：f''(\xi)=0, \quad \xi \in (1,2)
提示：这里用到f的二阶连续导数保证了f'的可导性，从而可以再次应用罗尔定理。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在 $\xi \in (1,2)$ 使得 $f''(\xi)=0$，命题得证。
公式：$\exists \xi \in (1,2), \; f''(\xi)=0$
提示：结论中 $\xi$ 的具体位置不必求出，只需证明存在性。
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