南京信息工程大学 2024年数学分析第0题

设 $F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z+\sin z$，则 $F(0,0,0)=0$。计算 $\frac{\partial F}{\partial z}=1+\cos z$，在 $(0,0,0)$ 处有 $\frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)=1+\cos 0=2\neq 0$。由于偏导数连续，满足隐函数定理条件。

由隐函数定理，在 $(0,0,0)$ 附近存在唯一的连续可微函数 $z=z(x,y)$，满足 $F(x,y,z(x,y))=0$ 且 $z(0,0)=0$。

设 $z(x,y)=a x+b y+c x^2+d xy+e y^2+o(x^2+y^2)$，由 $z(0,0)=0$ 常数项为0。代入原方程 $x^2+y^2+z+\sin z=0$，利用 $\sin z=z-\frac{z^3}{6}+\cdots$，在二阶精度下 $\sin z\approx z$，得 $x^2+y^2+2z\approx 0$。

由 $x^2+y^2+2z=0$ 得 $z=-\frac12(x^2+y^2)+\cdots$，可见一次项系数 $a=b=0$。也可通过隐函数求导验证：对 $x$ 求偏导 $2x+z_x+\cos z\cdot z_x=0$，在 $(0,0,0)$ 处得 $0+z_x+1\cdot z_x=0$，故 $z_x(0,0)=0$，同理 $z_y(0,0)=0$。

对 $2x+z_x+\cos z\cdot z_x=0$ 再对 $x$ 求导：$2+z_{xx}-\sin z\cdot(z_x)^2+\cos z\cdot z_{xx}=0$。代入 $(0,0,0)$ 处 $z=0,z_x=0$，得 $2+z_{xx}+1\cdot z_{xx}=0$，即 $2+2z_{xx}=0$，所以 $z_{xx}(0,0)=-1$。同理 $z_{yy}(0,0)=-1$。混合偏导 $z_{xy}(0,0)=0$。

由泰勒公式，$z(x,y)=z(0,0)+z_x(0,0)x+z_y(0,0)y+\frac12 z_{xx}(0,0)x^2+z_{xy}(0,0)xy+\frac12 z_{yy}(0,0)y^2+o(x^2+y^2)$，代入得 $z(x,y)=0+0+0+\frac12(-1)x^2+0\cdot xy+\frac12(-1)y^2+o(x^2+y^2)=-\frac12 x^2-\frac12 y^2+o(x^2+y^2)$。

代入系数得 $z(x,y)=-\frac12(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$，即为带皮亚诺余项的二阶泰勒展开。