南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二．（本题满分 12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析加权系数的性质
计算加权系数之和：$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$，因此 $\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{n^2} = 1$，且每个系数非负。这说明右端是 $f(x_k)$ 的一个凸组合。
公式：\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2
提示：注意奇数和公式，避免计算错误。
步骤 2/4
目标：应用连续函数的最值定理
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，故存在最小值 $m = \min_{x\in[a,b]} f(x)$ 和最大值 $M = \max_{x\in[a,b]} f(x)$，且对每个 $x_k$ 有 $m \le f(x_k) \le M$。
公式：m = \min_{x\in[a,b]} f(x), \quad M = \max_{x\in[a,b]} f(x)
提示：闭区间上连续函数必有最值，这是介值定理的前提。
步骤 3/4
目标：估计加权平均值的范围
由 $m \le f(x_k) \le M$ 及系数非负且和为1，得 $m \le \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k) \le M$，即加权平均值介于最小值与最大值之间。
公式：m \le \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k) \le M
提示：注意不等式的方向，系数非负保证不等号不变。
步骤 4/4
目标：应用介值定理得出结论
由连续函数的介值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上可取到 $m$ 和 $M$ 之间的任何值，因此存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k)$。
公式：\exists \xi \in [a,b], \; f(\xi) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k)
提示：介值定理要求函数连续且值介于两端点函数值之间，这里两端点函数值即最值。
步骤 5/5
目标：总结证明
综上，由最值定理和介值定理，至少存在一点 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1) f(x_k)$，证毕。
提示：证明过程简洁，关键在于利用系数和与介值定理。
步骤 6/6
目标：应用介值定理得出结论
由于 $\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k)$ 介于 $m$ 和 $M$ 之间，而 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k)$。证毕。
公式：f(\xi) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1)f(x_k), \quad \xi \in [a,b]
提示：介值定理要求函数连续且目标值介于最小值和最大值之间，这里两个条件均已满足。
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