南京信息工程大学 2024年数学分析第0题

令 $a_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，则 $|a_n| = \frac{1}{n^\alpha}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。由于 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$，故当 $n$ 充分大时 $|a_n| \sim \frac{e}{n^\alpha}$。因为 $\alpha \in (0,1)$，$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ 发散（$p$ 级数 $p<1$ 发散），所以 $\sum |a_n|$ 发散，原级数不绝对收敛。

对于交错级数 $\sum (-1)^n b_n$，其中 $b_n = \frac{1}{n^\alpha}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n > 0$。计算极限：$\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^\alpha} \cdot e = 0$（因为 $\alpha > 0$）。满足莱布尼茨判别法的第一个条件。

考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x^\alpha}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$，$x>0$。取对数求导：$\ln f(x) = -\alpha \ln x + x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$，则 $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\alpha}{x} + \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}$。对 $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ 和 $\frac{1}{x+1}$ 作泰勒展开：$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)$，$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)$，代入得 $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\alpha}{x} + \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)$。当 $x$ 充分大时，由于 $\alpha > 0$，主要项 $-\frac{\alpha}{x} < 0$，故 $f'(x) < 0$，因此 $b_n$ 从某项起单调递减。

由前两步，$b_n$ 单调递减趋于 0，故交错级数 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。又因为 $\sum |a_n|$ 发散，所以原级数条件收敛。

由前两步，$b_n$ 最终单调递减且趋于0，满足莱布尼茨判别法条件，故原交错级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n$ 收敛。又因绝对值级数发散，所以原级数条件收敛。

由以上分析，$b_n$ 最终单调递减且趋于 $0$，故交错级数 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。又因为不绝对收敛，所以原级数条件收敛。