南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八．（本题满分 15 分）设含参量积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (\alpha x)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x, \alpha \in(0,+\infty)$ ．
（1）证明：$\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导；
（2）求出 $\displaystyle I(\alpha)$ 的表达式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 I(α) 在 (0,+∞) 可导
考虑函数 $I(\alpha)=\int_0^{+\infty} \frac{\arctan(\alpha x)}{x(1+x^2)} dx$，被积函数为 $f(x,\alpha)=\frac{\arctan(\alpha x)}{x(1+x^2)}$。对 $\alpha$ 求偏导得 $\frac{\partial f}{\partial \alpha}=\frac{1}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)}$。对于任意固定的 $\alpha_0>0$，取闭区间 $[a,b]\subset(0,+\infty)$ 包含 $\alpha_0$，则当 $\alpha\in[a,b]$ 时，有 $\left|\frac{\partial f}{\partial \alpha}\right|=\frac{1}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)}\le \frac{1}{1+x^2}$，而 $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}<+\infty$，所以存在与 $\alpha$ 无关的可积控制函数。由含参积分求导定理，$I(\alpha)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，且 $I'(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)}$。
公式：\frac{\partial f}{\partial \alpha} = \frac{1}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)}
提示：注意控制函数的选取要依赖于一个包含当前点的闭区间，确保一致有界。
步骤 2/4
目标：计算 I'(α) 的积分表达式
由第一步得 $I'(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)}$。利用部分分式分解：设 $\frac{1}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)}=\frac{A}{1+x^2}+\frac{B}{1+\alpha^2 x^2}$，通分比较分子得 $1=A(1+\alpha^2 x^2)+B(1+x^2)$。令 $x^2$ 系数相等得 $0=A\alpha^2+B$，常数项相等得 $1=A+B$。解得当 $\alpha\neq1$ 时，$A=\frac{1}{1-\alpha^2}$，$B=-\frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}$。于是 $I'(\alpha)=\frac{1}{1-\alpha^2}\int_0^{+\infty}\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2 x^2}\right)dx$。
公式：\frac{1}{(1+x^2)(1+\alpha^2 x^2)} = \frac{1}{1-\alpha^2}\left(\frac{1}{1+x^2} - \frac{\alpha^2}{1+\alpha^2 x^2}\right)
提示：分解时注意 α=1 是奇点，但最终结果可通过连续性处理。
步骤 3/4
目标：计算两个积分并化简 I'(α)
计算 $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$。对于第二个积分，作代换 $t=\alpha x$，则 $dx=dt/\alpha$，得 $\int_0^{+\infty}\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2 x^2}dx = \alpha^2\cdot\frac{1}{\alpha}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\alpha\cdot\frac{\pi}{2}$。代入得 $I'(\alpha)=\frac{1}{1-\alpha^2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1-\alpha}{1-\alpha^2}$。因 $1-\alpha^2=(1-\alpha)(1+\alpha)$，故 $I'(\alpha)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+\alpha}$，对 $\alpha>0$ 成立（$\alpha=1$ 处由连续性得相同极限）。
公式：I'(\alpha) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1+\alpha}
提示：代换时注意积分限的变化，以及 α>0 保证代换有效。
步骤 4/4
目标：积分求 I(α) 并确定常数
对 $I'(\alpha)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1+\alpha}$ 积分得 $I(\alpha)=\frac{\pi}{2}\ln(1+\alpha)+C$。考虑 $\alpha=0$ 时，原积分 $I(0)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(0)}{x(1+x^2)}dx=0$，代入得 $0=\frac{\pi}{2}\ln1+C=C$，所以 $C=0$。因此 $I(\alpha)=\frac{\pi}{2}\ln(1+\alpha)$。
公式：I(\alpha) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\alpha)
提示：确定常数时，利用 α=0 时积分值为零，注意 ln(1)=0。
步骤 5/5
目标：积分求出 I(α) 并确定常数
对 I'(α) 积分：
\[ I(\alpha) = \int \frac{\pi}{2(1+\alpha)} d\alpha = \frac{\pi}{2} \ln(1+\alpha) + C. \]
确定常数 C：令 α=0，原积分中 arctan(0)=0，故 I(0)=0。代入得：
\[ 0 = \frac{\pi}{2} \ln(1+0) + C = C. \]
因此 C=0，最终 \[ I(\alpha) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\alpha), \quad \alpha > 0. \]
公式：I(\alpha) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\alpha)
提示：确定常数时利用 α=0 时积分为零，注意 ln(1)=0。
步骤 6/6
目标：积分求原函数并确定常数
由 $I'(\alpha)=\frac{\pi}{2(\alpha+1)}$，积分得 $I(\alpha)=\frac{\pi}{2}\ln(\alpha+1)+C$。令 $\alpha=0$，则 $I(0)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(0)}{x(1+x^2)}dx=0$，代入得 $0=\frac{\pi}{2}\ln 1 + C = C$，故 $C=0$。因此 $I(\alpha)=\frac{\pi}{2}\ln(1+\alpha)$。
公式：$\int \frac{1}{\alpha+1}d\alpha = \ln|\alpha+1|+C$
提示：注意 $\alpha>0$，故 $\ln(\alpha+1)$ 有意义。$I(0)$ 需通过极限理解，因为 $\alpha=0$ 时被积函数为0。
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