南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, n \in N$ ，证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ；
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数序列一致收敛于0
设 $M = \max_{x \in [a,b]} |f_1(x)|$，由 $f_1$ 在闭区间上连续知 $M$ 有限。
公式：M = \max_{x \in [a,b]} |f_1(x)|
提示：注意闭区间上连续函数必有界，最大值存在。
步骤 2/6
目标：归纳估计 $|f_n(x)|$ 的上界
由递推 $f_{n+1}(x) = \int_a^x f_n(t) dt$，有 $|f_2(x)| \le \int_a^x |f_1(t)| dt \le M(x-a)$。假设 $|f_n(x)| \le M \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}$，则 $|f_{n+1}(x)| \le \int_a^x M \frac{(t-a)^{n-1}}{(n-1)!} dt = M \frac{(x-a)^n}{n!}$。由数学归纳法，对一切 $n$ 成立。
公式：|f_n(x)| \le M \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}
提示：归纳时注意积分变量的替换和幂函数积分公式。
步骤 3/6
目标：得到与 $x$ 无关的界
由于 $x \in [a,b]$，有 $x-a \le b-a$，故 $|f_n(x)| \le M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$，该上界与 $x$ 无关。
公式：|f_n(x)| \le M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}
提示：这是关键步骤，将依赖于 $x$ 的界转化为常数界。
步骤 4/6
目标：证明一致收敛于0
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} \to 0$（阶乘增长快于指数），因此 $\sup_{x \in [a,b]} |f_n(x)| \to 0$，即 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于0。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} = 0
提示：一致收敛的定义：$\sup$ 范数趋于0。
步骤 5/6
目标：证明级数一致收敛
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$，由第一问的估计，对任意 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)| \le M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。而常数项级数 $\sum_{n=1}^\infty M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} = M e^{b-a}$ 收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} = M e^{b-a}
提示：注意 $n$ 从1开始，指数部分对应 $e^{b-a}$ 的泰勒展开。
步骤 6/6
目标：应用Weierstrass M-判别法
由Weierstrass M-判别法，若存在收敛的正项级数 $\sum M_n$ 使得 $|f_n(x)| \le M_n$ 对一切 $x$ 成立，则 $\sum f_n(x)$ 一致收敛。这里 $M_n = M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$，故级数在 $[a,b]$ 上一致收敛（且绝对一致收敛）。
公式：|f_n(x)| \le M_n, \quad \sum M_n \text{ 收敛}
提示：Weierstrass判别法要求上界与 $x$ 无关，且级数收敛。
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