南京信息工程大学 2024年数学分析第0题

给定第二类曲面积分： $$I=\iint_{\Sigma}\left(y e^{z}+x^{3}\right) d y d z+\left(z e^{x}+y^{3}\right) d z d x+\left(y \cos (x y)+z^{3}\right) d x d y$$ 曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1$，$z\ge 0$，取上侧。由于曲面不封闭，考虑补上底面 $\Sigma_2: z=0, x^2+y^2\le 1$ 取下侧，构成封闭曲面 $S=\Sigma\cup\Sigma_2$ 取外侧，然后应用高斯公式。

设向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，其中： $P = y e^{z}+x^{3}$，$Q = z e^{x}+y^{3}$，$R = y \cos(xy)+z^{3}$。 计算偏导数： $$\frac{\partial P}{\partial x}=3x^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=3y^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=3z^2$$ 故散度为： $$\nabla\cdot\mathbf{F}=3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)$$

封闭曲面 $S$ 的外侧积分等于上半球体 $V: x^2+y^2+z^2\le 1, z\ge 0$ 上的三重积分： $$\iint_S \cdots = \iiint_V 3(x^2+y^2+z^2) dV$$ 采用球坐标：$x=r\sin\theta\cos\phi,\; y=r\sin\theta\sin\phi,\; z=r\cos\theta$，$dV=r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$，积分区域：$0\le r\le 1,\; 0\le \theta\le \pi/2,\; 0\le \phi\le 2\pi$。 计算： $$\iiint_V 3r^2 \cdot r^2\sin\theta dr d\theta d\phi = 3\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin\theta d\theta \int_0^1 r^4 dr$$ $$=3\cdot 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6\pi}{5}$$

底面 $\Sigma_2: z=0$，取下侧。此时 $dz=0$，故 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项均为0，仅剩 $dx dy$ 项： $$\iint_{\Sigma_2} R dx dy = \iint_{\Sigma_2} (y\cos(xy)+z^3) dx dy$$ 代入 $z=0$ 得 $R=y\cos(xy)$。由于取下侧，法向量与 $z$ 轴反向，故 $dx dy$ 前取负号： $$\iint_{\Sigma_2} R dx dy = -\iint_{D} y\cos(xy) dx dy$$ 其中 $D: x^2+y^2\le 1$。被积函数 $y\cos(xy)$ 关于 $y$ 是奇函数，区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，因此积分值为0。

由高斯公式： $$\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_2} = \frac{6\pi}{5}$$ 而 $\iint_{\Sigma_2}=0$，因此原曲面积分： $$I = \frac{6\pi}{5}$$

被积函数 $y\cos(xy)$ 关于 $y$ 是奇函数（因为 $\cos(xy)$ 是偶函数，乘以 $y$ 后为奇函数），积分区域 $D: x^2+y^2\le 1$ 关于 $y=0$ 对称，因此二重积分为0。 故底面积分为0。

封闭曲面总积分 $\iint_S = \frac{6\pi}{5}$，而底面 $\Sigma_1$ 积分为0，因此上半球面 $\Sigma$ 的积分即为： $$I = \frac{6\pi}{5}$$