南京信息工程大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．（本题满分 14 分）设 $D$ 是由两条直线 $\displaystyle y=x, y=2 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1$ ， $\displaystyle x y=2$ 围成的区域。 $\displaystyle F(u)$ 连续可微 $\displaystyle F^{\prime}(u)=f(u)$ 。证明：
$$
\int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} d y=\frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) d u,
$$
其中 $\displaystyle \partial D$ 方向取逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确区域 D 的边界构成与方向
区域 $D$ 由四条曲线围成：直线 $y=x$，直线 $y=2x$，双曲线 $xy=1$，双曲线 $xy=2$。取逆时针方向为 $\partial D$ 的正方向。为了后续计算方便，引入变量 $u=xy$ 和 $v=\\frac{y}{x}$，则 $u$ 从 $1$ 到 $2$，$v$ 从 $1$ 到 $2$。
公式：u = xy, \\quad v = \\frac{y}{x}
提示：注意边界曲线的顺序与逆时针方向一致，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：应用格林定理将曲线积分转化为二重积分
令 $P=0$，$Q=\\frac{F(xy)}{y}$，则格林定理给出：\n$$\n\\oint_{\\partial D} \\frac{F(xy)}{y} \\, dy = \\iint_D \\left( \\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\right) dx\\,dy.\n$$\n计算偏导数：\n$$\n\\frac{\\partial Q}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial x}\\left( \\frac{F(xy)}{y} \\right) = \\frac{F'(xy) \\cdot y}{y} = F'(xy) = f(xy), \\quad \\frac{\\partial P}{\\partial y}=0.\n$$\n因此\n$$\nI = \\iint_D f(xy) \\, dx\\,dy.\n$$
公式：\\oint_{\\partial D} \\frac{F(xy)}{y} dy = \\iint_D f(xy) \\, dx\\,dy
提示：格林定理要求区域是封闭的且方向为正向，这里逆时针即为正向。
步骤 3/5
目标：进行变量替换计算二重积分
令 $u=xy$，$v=\\frac{y}{x}$，反解出 $x=\\sqrt{\\frac{u}{v}}$，$y=\\sqrt{uv}$。计算雅可比行列式：\n$$\n\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)} = \\begin{vmatrix} \\frac{1}{2\\sqrt{uv}} & -\\frac{\\sqrt{u}}{2v^{3/2}} \\\\ \\frac{\\sqrt{v}}{2\\sqrt{u}} & \\frac{\\sqrt{u}}{2\\sqrt{v}} \\end{vmatrix} = \\frac{1}{2v}.\n$$\n区域变换后 $u\\in[1,2]$，$v\\in[1,2]$，于是\n$$\nI = \\int_{v=1}^{2} \\int_{u=1}^{2} f(u) \\cdot \\frac{1}{2v} \\, du\\, dv.\n$$
公式：\\iint_D f(xy) \\, dx\\,dy = \\int_1^2 \\int_1^2 f(u) \\cdot \\frac{1}{2v} \\, du\\, dv
提示：雅可比行列式要取绝对值，这里 $\\frac{1}{2v}>0$ 直接使用。
步骤 4/5
目标：分离变量并计算积分
先对 $v$ 积分：\n$$\n\\int_{1}^{2} \\frac{1}{2v} \\, dv = \\frac{1}{2} [\\ln v]_{1}^{2} = \\frac{1}{2} \\ln 2.\n$$\n再对 $u$ 积分：\n$$\n\\int_{1}^{2} f(u) \\, du.\n$$\n因此\n$$\nI = \\frac{\\ln 2}{2} \\int_{1}^{2} f(u) \\, du.\n$$
公式：\\int_{1}^{2} \\frac{1}{2v} \\, dv = \\frac{\\ln 2}{2}
提示：注意积分顺序不影响结果，因为被积函数可分离。
步骤 5/5
目标：得出结论
原曲线积分等于上述二重积分的结果，即\n$$\n\\int_{\\partial D} \\frac{F(xy)}{y} \\, dy = \\frac{\\ln 2}{2} \\int_{1}^{2} f(u) \\, du.\n$$\n证毕。
公式：\\boxed{\\int_{\\partial D} \\frac{F(x y)}{y} d y=\\frac{\\ln 2}{2} \\int_{1}^{2} f(u) d u}
提示：检查边界方向是否一致，以及变量替换后积分限是否正确。
步骤 6/6
目标：求和并利用牛顿-莱布尼茨公式完成证明
四段积分相加：
$$I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = \int_{1}^{2} \frac{F(u)}{2u} du + \frac{F(2)}{2}\ln 2 - \int_{1}^{2} \frac{F(u)}{2u} du - \frac{F(1)}{2}\ln 2$$
$$I = \frac{\ln 2}{2} \big( F(2) - F(1) \big)$$
由 $F'(u)=f(u)$ 及牛顿-莱布尼茨公式：$F(2)-F(1) = \int_{1}^{2} f(u) \, du$，代入得：
$$I = \frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) \, du$$
原式得证。
公式：$$\int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} d y = \frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) d u$$
提示：注意 $I_1$ 和 $I_3$ 中的积分项正好抵消，最终结果仅与 $F$ 在端点值有关。
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