南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
一．计算下列各题（30 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h^{4}\right)-f\left(x_{0}\right)}{1-\cos \left(h^{2}\right)}$ ．
（4） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) d x$ ．
（5）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2010} \sin t^{2} d t$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算极限 lim_{x→1} x^{1/(1-x)}
这是一个1^∞型未定式。设 L = lim_{x→1} x^{1/(1-x)}，取自然对数得 ln L = lim_{x→1} (ln x)/(1-x)。当 x→1 时，ln x ~ x-1，因此 (ln x)/(1-x) ~ (x-1)/(1-x) = -1，故 ln L = -1，L = e^{-1}。
公式：\ln L = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = -1, \quad L = e^{-1}
提示：注意1^∞型未定式通常取对数处理，并利用等价无穷小替换ln(1+u)~u。
步骤 2/5
目标：计算极限 lim_{x→0} [e - (1+x)^{1/x}] / x
先展开 (1+x)^{1/x} = e^{\ln(1+x)/x}，而 \ln(1+x)/x = 1 - x/2 + O(x^2)，所以 (1+x)^{1/x} = e^{1 - x/2 + O(x^2)} = e(1 - x/2 + O(x^2))。代入分子得 e - e(1 - x/2 + O(x^2)) = e·x/2 + O(x^2)，除以x后取极限得 e/2。
公式：(1+x)^{1/x} = e\left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right), \quad \lim_{x\to 0}\frac{e\cdot x/2 + O(x^2)}{x} = \frac{e}{2}
提示：注意展开到一阶项即可，高阶项不影响极限。
步骤 3/5
目标：计算极限 lim_{h→0} [f(x0+h^4)-f(x0)] / [1-cos(h^2)]
当 h→0 时，分母 1-cos(h^2) ~ h^4/2；分子由导数定义 f(x0+h^4)-f(x0) ~ f'(x0) h^4。因此极限为 (f'(x0) h^4) / (h^4/2) = 2 f'(x0)。
公式：1-\cos(h^2) \sim \frac{h^4}{2}, \quad f(x_0+h^4)-f(x_0) \sim f'(x_0)h^4, \quad \text{极限}=2f'(x_0)
提示：注意分母的等价无穷小替换，分子利用可导定义。
步骤 4/5
目标：计算不定积分 ∫(ln ln x + 1/ln x) dx
拆分为两部分：∫ ln ln x dx 和 ∫ 1/ln x dx。对第一部分用分部积分：令 u=ln ln x, dv=dx，则 du=1/(x ln x) dx, v=x，得 ∫ ln ln x dx = x ln ln x - ∫ 1/ln x dx。两部分相加，∫ 1/ln x dx 消去，结果为 x ln ln x + C。
公式：\int \ln\ln x\, dx = x\ln\ln x - \int \frac{1}{\ln x}dx, \quad \int \left(\ln\ln x + \frac{1}{\ln x}\right)dx = x\ln\ln x + C
提示：注意分部积分后抵消项，结果简洁。
步骤 5/5
目标：计算极限 lim_{x→+∞} ∫_{x}^{x+2010} sin(t^2) dt
当 x 很大时，积分区间长度固定为2010，但 sin(t^2) 振荡越来越快，正负抵消，积分趋于0。严格证明可作变量替换 u=t^2，得 ∫_{x}^{x+2010} sin(t^2) dt = (1/2)∫_{x^2}^{(x+2010)^2} (sin u)/√u du，当 x→∞ 时，分母√u 很大，且振荡积分趋于0。
公式：\int_x^{x+2010} \sin(t^2) dt = \frac12 \int_{x^2}^{(x+2010)^2} \frac{\sin u}{\sqrt{u}} du \to 0 \quad (x\to +\infty)
提示：利用变量替换和振荡积分性质，或直接由Riemann-Lebesgue引理。
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