南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）计算反常积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x,(\alpha>0)$ 。并由此计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 之值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义含参积分并求导
设 $I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x$，其中 $\alpha>0$。由于被积函数对 $\alpha$ 可导且积分一致收敛，可在积分号下求导：$I'(\alpha)=\frac{d}{d\alpha} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x = \int_{0}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \alpha}\left(e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x}\right) d x = \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}(-\sin x) d x$。因此 $I'(\alpha)=-\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x d x$。
公式：$I'(\alpha)=-\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x d x$
提示：注意求导时 $\frac{\partial}{\partial \alpha} e^{-\alpha x} = -x e^{-\alpha x}$，但这里 $\frac{\sin x}{x}$ 中的 $x$ 与分母约去，得到 $-e^{-\alpha x} \sin x$，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x d x$
利用分部积分法或拉普拉斯变换公式：$\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x d x = \frac{1}{\alpha^2+1}$。具体地，两次分部积分可得 $\int e^{-\alpha x} \sin x d x = -\frac{e^{-\alpha x}(\alpha \sin x + \cos x)}{\alpha^2+1}$，代入上下限 $0$ 到 $+\infty$ 即得结果。
公式：$\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x d x = \frac{1}{\alpha^2+1}$
提示：计算时注意 $x\to+\infty$ 时 $e^{-\alpha x}\to0$，$x=0$ 时 $\sin0=0$，$\cos0=1$，代入后得到 $\frac{1}{\alpha^2+1}$。
步骤 3/5
目标：得到 $I'(\alpha)$ 并积分求 $I(\alpha)$
由前两步得 $I'(\alpha) = -\frac{1}{\alpha^2+1}$。对 $\alpha$ 积分：$I(\alpha) = -\int \frac{1}{\alpha^2+1} d\alpha = -\arctan \alpha + C$，其中 $C$ 为积分常数。
公式：$I(\alpha) = -\arctan \alpha + C$
提示：积分时不要忘记常数 $C$，需要利用边界条件确定。
步骤 4/5
目标：利用极限确定常数 $C$
考虑 $\alpha \to +\infty$ 时，$I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x$，由于 $e^{-\alpha x}$ 衰减极快，积分趋于 $0$。另一方面，$-\arctan \alpha \to -\frac{\pi}{2}$，因此 $0 = -\frac{\pi}{2} + C$，解得 $C = \frac{\pi}{2}$。故 $I(\alpha) = \frac{\pi}{2} - \arctan \alpha$。
公式：$\lim_{\alpha\to+\infty} I(\alpha)=0$，$C=\frac{\pi}{2}$
提示：这里 $\arctan \alpha$ 当 $\alpha\to+\infty$ 时趋于 $\frac{\pi}{2}$，注意符号。
步骤 5/5
目标：计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$
所求积分即为 $I(0)$ 的极限（$\alpha\to0^+$）。由于 $I(\alpha)=\frac{\pi}{2}-\arctan\alpha$ 在 $\alpha=0$ 处连续，$\lim_{\alpha\to0^+} I(\alpha)=\frac{\pi}{2}-\arctan0=\frac{\pi}{2}$。因此 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{\pi}{2}$
提示：该积分是条件收敛的，不能直接交换积分次序，但通过含参积分取极限是严谨的。
步骤 6/6
目标：计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$
令 $\alpha \to 0^+$，则 $I(\alpha) \to \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$。由 $I(\alpha)$ 表达式：
$$\lim_{\alpha \to 0^+} I(\alpha) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2}.$$
因此
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}.$$
公式：$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意 $\alpha \to 0^+$ 时 $e^{-\alpha x} \to 1$，但积分收敛性需保证，此处由 $\alpha>0$ 时一致收敛性及极限可交换得到。
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