南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
三．设函数 $f$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，且对任何 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}$ ，证明：
（1）$f$ 可导；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。（15分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数在零点的值
令 $x = y = 0$，代入函数方程 $f(0+0) = \frac{f(0)+f(0)}{1-4f(0)f(0)}$，得 $f(0) = \frac{2f(0)}{1-4f(0)^2}$。
若 $f(0) \neq 0$，则两边除以 $f(0)$ 得 $1 = \frac{2}{1-4f(0)^2}$，即 $1-4f(0)^2 = 2$，解得 $f(0)^2 = -\frac{1}{4}$，无实数解。故必有 $f(0)=0$。
公式：f(0) = \frac{2f(0)}{1-4f(0)^2} \Rightarrow f(0)=0
提示：注意不能直接假设 $f(0)=0$，需要分类讨论并利用实数条件排除非零解。
步骤 2/5
目标：构造差商并证明可导性
对任意固定的 $x$，取增量 $h$，由函数方程得：
$$f(x+h) = \frac{f(x)+f(h)}{1-4f(x)f(h)}$$
于是
$$f(x+h)-f(x) = \frac{f(x)+f(h)}{1-4f(x)f(h)} - f(x) = \frac{f(h)(1+4f(x)^2)}{1-4f(x)f(h)}$$
从而差商为：
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1+4f(x)^2}{1-4f(x)f(h)} \cdot \frac{f(h)}{h}$$
由于 $f$ 连续且 $f(0)=0$，故 $h\to 0$ 时 $f(h)\to 0$，分母 $1-4f(x)f(h)\to 1$。又已知 $f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}$ 存在，因此极限存在：
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = (1+4f(x)^2)f'(0)$$
即 $f$ 在任意 $x$ 处可导，且 $f'(x) = f'(0)(1+4f(x)^2)$。
公式：f'(x) = f'(0)(1+4f(x)^2)
提示：关键步骤是通分化简并利用 $f(0)=0$ 保证分母极限为1，不要遗漏连续性条件。
步骤 3/5
目标：建立微分方程并分离变量
由第一问结论，代入 $f'(0)=\frac{1}{2}$，得微分方程：
$$f'(x) = \frac{1}{2}(1+4f(x)^2)$$
这是可分离变量的一阶微分方程，改写为：
$$\frac{df}{1+4f^2} = \frac{1}{2}dx$$
公式：\frac{df}{1+4f^2} = \frac{1}{2}dx
提示：注意 $1+4f^2$ 恒正，无需考虑绝对值，直接积分即可。
步骤 4/5
目标：积分求解函数表达式
两边积分：
$$\int \frac{df}{1+4f^2} = \int \frac{1}{2}dx$$
左边利用 $\int \frac{df}{1+(2f)^2} = \frac{1}{2}\arctan(2f)$，得：
$$\frac{1}{2}\arctan(2f) = \frac{1}{2}x + C$$
化简为：
$$\arctan(2f) = x + 2C$$
代入初始条件 $f(0)=0$，得 $\arctan(0)=0+2C \Rightarrow C=0$。因此：
$$\arctan(2f) = x \quad\Rightarrow\quad 2f(x) = \tan x$$
即 $f(x) = \frac{1}{2}\tan x$。
公式：f(x) = \frac{1}{2}\tan x
提示：积分常数由 $f(0)=0$ 确定，注意 $\arctan$ 的主值范围，解在 $|x|<\pi/2$ 的区间内成立。
步骤 5/5
目标：验证解满足原函数方程
将 $f(x)=\frac{1}{2}\tan x$ 代入原方程验证：
右端 $\frac{f(x)+f(y)}{1-4f(x)f(y)} = \frac{\frac{1}{2}\tan x + \frac{1}{2}\tan y}{1-4\cdot\frac{1}{4}\tan x \tan y} = \frac{\frac{1}{2}(\tan x+\tan y)}{1-\tan x \tan y}$
利用正切加法公式 $\tan(x+y) = \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$，得右端 $= \frac{1}{2}\tan(x+y) = f(x+y)$，满足方程。
公式：\tan(x+y) = \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}
提示：验证时注意系数4与$\frac{1}{2}$的配合，确保分母形式一致。
步骤 6/6
目标：利用初始条件确定常数
由第一步已知 $f(0)=0$，代入 $f(x)=\frac{1}{2}\tan(x+C')$ 得 $0 = \frac{1}{2}\tan(C')$，故 $\tan(C')=0$，解得 $C' = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。取最简单形式 $C'=0$，得 $f(x)=\frac{1}{2}\tan x$。
公式：f(0)=0 \Rightarrow \tan(C')=0 \Rightarrow C'=0
提示：常数取 $k\pi$ 时函数形式相同，通常取 $k=0$ 简化表达式，注意定义域需避开 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$。
步骤 7/7
目标：解出f(x)的表达式
由 $\arctan(2f) = x$ 得 $2f(x) = \tan x$，故 $f(x) = \frac{1}{2}\tan x$。
公式：$f(x) = \frac{1}{2}\tan x$
提示：注意 $\tan x$ 的定义域，但题目未要求讨论。
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