南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）设 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}, \sigma_{n}=\frac{S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n-1}}{n}$ ．
证明：（1）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛；则 $\displaystyle \sigma_{n}=o(n)$ ，（当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时）．
（2）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,+1)$ 内绝对收敛，且
$$
f(x)=(1-x)^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \sigma_{n+1} x^{n}, x \in(-1,1)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 σ_n = o(n)
已知序列 \(\{\sigma_n\}\) 收敛，设其极限为 \(L\)。由收敛性可知，存在常数 \(M>0\)，使得对所有 \(n\) 有 \(|\sigma_n| \le M\)。于是 \(\left|\frac{\sigma_n}{n}\right| \le \frac{M}{n} \to 0\)（当 \(n\to\infty\)）。根据小 \(o\) 记号的定义，\(\sigma_n = o(n)\) 得证。
公式：\left|\frac{\sigma_n}{n}\right| \le \frac{M}{n} \to 0
提示：注意 \(o(n)\) 表示 \(\frac{\sigma_n}{n} \to 0\)，这里直接利用收敛序列的有界性即可，无需复杂推导。
步骤 2/5
目标：建立 a_n 与 σ_n 的关系
由定义 \(S_n = \sum_{k=0}^n a_k\)，\(\sigma_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} S_k\)。于是 \(n\sigma_n = \sum_{k=0}^{n-1} S_k\)，\((n+1)\sigma_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} S_k\)。两式相减得 \(S_n = (n+1)\sigma_{n+1} - n\sigma_n\)。又 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)（\(n\ge 1\)），代入得 \(a_n = (n+1)\sigma_{n+1} - 2n\sigma_n + (n-1)\sigma_{n-1}\)，且 \(a_0 = S_0 = \sigma_1\)。
公式：a_n = (n+1)\sigma_{n+1} - 2n\sigma_n + (n-1)\sigma_{n-1}, \quad n\ge 1
提示：注意 \(\sigma_1 = S_0\)，这是递推的初始条件。
步骤 3/5
目标：证明级数在 (-1,1) 内绝对收敛
由于 \(\{\sigma_n\}\) 收敛，存在常数 \(C>0\) 使得 \(|\sigma_n| \le C\)。对 \(n\ge 1\)，由 \(a_n\) 的表达式有 \(|a_n| \le (n+1)C + 2nC + (n-1)C = 4nC\)（当 \(n\) 较大时近似为 \(4nC\)）。更精确地，\(|a_n| \le 4C(n+1)\)。对任意 \(|x|<1\)，\(\sum_{n=0}^\infty (n+1)|x|^n\) 收敛（比值判别法），故 \(\sum |a_n x^n| \le 4C \sum (n+1)|x|^n < \infty\)，即原级数绝对收敛。
公式：|a_n| \le 4C(n+1), \quad \sum_{n=0}^\infty (n+1)|x|^n \text{ 收敛于 } |x|<1
提示：这里用到了比较判别法，注意 \(a_0 = \sigma_1\) 也有界。
步骤 4/5
目标：推导 f(x) 的表达式（第一部分）
将 \(a_n\) 的表达式代入 \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)：
\[
f(x) = \sigma_1 + \sum_{n=1}^\infty \left[(n+1)\sigma_{n+1} - 2n\sigma_n + (n-1)\sigma_{n-1}\right] x^n.
\]
分别处理三个和式。令 \(A(x) = \sum_{n=1}^\infty n\sigma_n x^n\)。
第一个和：\(\sum_{n=1}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n = \frac{1}{x}\sum_{m=2}^\infty m\sigma_m x^m = \frac{A(x)}{x} - \sigma_1\)。
第二个和：\(-2\sum_{n=1}^\infty n\sigma_n x^n = -2A(x)\)。
第三个和：\(\sum_{n=1}^\infty (n-1)\sigma_{n-1} x^n = x\sum_{m=0}^\infty m\sigma_m x^m = xA(x)\)（注意 \(m=0\) 项为0）。
公式：\sum_{n=1}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n = \frac{A(x)}{x} - \sigma_1, \quad A(x)=\sum_{n=1}^\infty n\sigma_n x^n
提示：注意求和指标的变换，以及 \(\sigma_1\) 项的处理。
步骤 5/5
目标：推导 f(x) 的表达式（第二部分）
将上一步结果代入 \(f(x)\)：
\[
f(x) = \sigma_1 + \left(\frac{A(x)}{x} - \sigma_1\right) - 2A(x) + xA(x) = \frac{A(x)}{x} - 2A(x) + xA(x).
\]
合并同类项：
\[
f(x) = A(x)\left(\frac{1}{x} - 2 + x\right) = A(x) \cdot \frac{1 - 2x + x^2}{x} = A(x) \cdot \frac{(1-x)^2}{x}.
\]
又 \(A(x) = \sum_{n=1}^\infty n\sigma_n x^n = x\sum_{n=1}^\infty n\sigma_n x^{n-1} = x\sum_{m=0}^\infty (m+1)\sigma_{m+1} x^m\)。代入得：
\[
f(x) = \frac{(1-x)^2}{x} \cdot x \sum_{m=0}^\infty (m+1)\sigma_{m+1} x^m = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n.
\]
此即所需等式。
公式：f(x) = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n
提示：最后一步将 \(A(x)\) 写成 \(x\) 乘以一个级数，以便消去分母中的 \(x\)。
步骤 6/6
目标：得到最终等式
由 f(x) = (1-x) ∑_{n=0}^∞ S_n x^n 及上一步结果，代入得 f(x) = (1-x)^2 ∑_{n=0}^∞ (n+1)σ_{n+1} x^n，对 x∈(-1,1) 成立。
公式：f(x) = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n
提示：注意等式在收敛半径内成立，且由绝对收敛保证运算合法性。
步骤 7/7
目标：得到f(x)的表达式
将上一步结果代入$f(x) = (1-x)\sum S_n x^n$，得$f(x) = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n$。
公式：$f(x) = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_{n+1} x^n$
提示：注意最终表达式中的$(1-x)^2$。
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