南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)+f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . \quad(15$ 分 $\displaystyle )$
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与设定中点
设 $c = \frac{a+b}{2}$，则 $b-a = 2(b-c) = 2(c-a)$。题目要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(b)+f(a)-2f(c) = \frac{(b-a)^2}{4} f''(\xi)$。左边是函数在中点处的对称差，右边与二阶导数有关，提示我们使用带拉格朗日余项的泰勒公式。
公式：c = \frac{a+b}{2}
提示：中点对称差的形式常与二阶导数相联系，注意区间长度与中点差的关系。
步骤 2/5
目标：在 $c$ 点对 $f(a)$ 和 $f(b)$ 进行二阶泰勒展开
对 $f(a)$，令 $h = a-c = -\frac{b-a}{2}$，由带拉格朗日余项的泰勒公式：存在 $\xi_1$ 介于 $a$ 与 $c$ 之间，使得
$$
f(a) = f(c) + f'(c)(a-c) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(a-c)^2 = f(c) - f'(c)\frac{b-a}{2} + \frac{f''(\xi_1)}{2}\cdot\frac{(b-a)^2}{4}.
$$
对 $f(b)$，令 $h = b-c = \frac{b-a}{2}$，存在 $\xi_2$ 介于 $c$ 与 $b$ 之间，使得
$$
f(b) = f(c) + f'(c)(b-c) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(b-c)^2 = f(c) + f'(c)\frac{b-a}{2} + \frac{f''(\xi_2)}{2}\cdot\frac{(b-a)^2}{4}.
$$
公式：f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2
提示：注意 $a-c$ 为负值，但平方后为正；两个展开的一阶项符号相反，为后续相加消去做准备。
步骤 3/5
目标：将两个展开式相加并整理
将 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的表达式相加：
$$
f(a) + f(b) = 2f(c) + \left[-f'(c)\frac{b-a}{2} + f'(c)\frac{b-a}{2}\right] + \frac{(b-a)^2}{4}\cdot\frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}.
$$
一阶项抵消，得到：
$$
f(a) + f(b) - 2f(c) = \frac{(b-a)^2}{4} \cdot \frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}.
$$
公式：f(a)+f(b)-2f(c) = \frac{(b-a)^2}{4} \cdot \frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}
提示：一阶项恰好抵消是本题的关键，体现了中点对称性。
步骤 4/5
目标：应用达布中值定理（导数的介值性）
由于 $f''(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在，根据达布定理（导函数具有介值性质），$f''(x)$ 在区间 $[\xi_1, \xi_2]$（或 $[\xi_2, \xi_1]$）上可取到介于 $f''(\xi_1)$ 和 $f''(\xi_2)$ 之间的任何值。特别地，存在 $\xi$ 介于 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 之间（从而 $\xi \in (a,b)$），使得
$$
f''(\xi) = \frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}.
$$
公式：f''(\xi) = \frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}
提示：注意 $f''$ 不一定连续，但达布定理保证其介值性；$\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，故 $\xi \in (a,b)$。
步骤 5/5
目标：代入并得出结论
将达布定理的结果代入第三步的等式，得到：
$$
f(a)+f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{(b-a)^2}{4} f''(\xi),
$$
其中 $\xi \in (a,b)$。证毕。
公式：f(b)+f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{(b-a)^2}{4} f''(\xi)
提示：最终等式与题目要求完全一致，注意 $"\xi"$ 的存在性由达布定理保证。
步骤 6/6
目标：代入并化简得到最终结论
将 $f''(\xi)$ 的表达式代入上一步的等式：$f(b)+f(a)-2f(c)=\frac{(b-a)^2}{8} \cdot 2f''(\xi) = \frac{(b-a)^2}{4}f''(\xi)$。即存在 $\xi \in (a,b)$ 使得原等式成立。
公式：$f(b)+f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^2}{4}f''(\xi)$
提示：最终结果与题目要求完全一致，注意 $c=\frac{a+b}{2}$。
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