南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) d y d z+(2 y+\cos (z-x)) d z d x+\left(3 z+e^{x-y}\right) d x d y$ 。其中 S 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的表面并取外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确认高斯公式条件并写出P, Q, R
曲面S是封闭的，且被积函数具有连续偏导数，满足高斯公式条件。令
\[ P = x + y - z, \quad Q = 2y + \cos(z - x), \quad R = 3z + e^{x-y}. \]
则原积分可表示为
\[ \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy. \]
公式：高斯公式：
\[ \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \]
提示：注意曲面取外侧，高斯公式直接适用。
步骤 2/6
目标：计算散度
分别求偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3. \]
因此散度为
\[ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 2 + 3 = 6. \]
公式：散度 = 6
提示：注意Q和R中虽有三角函数和指数，但偏导后简单。
步骤 3/6
目标：将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，原积分等于
\[ \iiint_V 6\,dV = 6 \cdot \text{Vol}(V), \]
其中V是由曲面
\[ |x - y + z| + |y - z + x| + |z - x + y| = 1 \]
所围成的区域。
公式：原积分 = 6 \times 体积(V)
提示：体积V需要进一步计算。
步骤 4/6
目标：通过线性变换简化区域
令
\[ u = x - y + z, \quad v = y - z + x, \quad w = z - x + y. \]
变换矩阵为
\[ \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \]
计算行列式：
\[ \det = 1\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot1) - (-1)\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) + 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) = 2 + 0 + 2 = 4. \]
因此雅可比行列式绝对值|J| = 4，故
\[ dx\,dy\,dz = \frac{1}{4} du\,dv\,dw. \]
公式：\[ dx\,dy\,dz = \frac{1}{4} du\,dv\,dw \]
提示：计算行列式时注意符号，避免出错。
步骤 5/6
目标：确定新坐标系下的区域并求体积
原曲面方程变为
\[ |u| + |v| + |w| = 1, \]
这是一个中心在原点的正八面体。在第一卦限（u,v,w ≥ 0）内，区域为四面体u+v+w ≤ 1，体积为
\[ \frac{1}{6} \times 1^3 = \frac{1}{6}. \]
由对称性，八个卦限总体积为
\[ 8 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}. \]
公式：正八面体体积 = \frac{4}{3}
提示：正八面体体积公式也可直接记忆：\frac{4}{3}a^3，这里a=1。
步骤 6/6
目标：计算原坐标系下的体积并得到最终积分值
由变换关系，原区域V的体积为
\[ \text{Vol}(V) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}. \]
因此原积分值为
\[ 6 \times \frac{1}{3} = 2. \]
公式：原积分 = 6 \times \frac{1}{3} = 2
提示：注意体积变换时乘以雅可比行列式的倒数。
步骤 7/7
目标：计算原积分值
原积分 $= 6 \times \text{Vol}(V) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$。
公式：$\iint_{S} \cdots = 2$
提示：最终结果是一个常数，可代入验证。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
原积分 $= 6 \times V(\Omega) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$。
公式：原积分 $= 2$
提示：最终答案化简为整数2。
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