南京师范大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
四．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微，且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 均收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=0 .(15$ 分 $\displaystyle )$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件，明确函数与导数的性质
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续可微，即 $f'(x)$ 存在且连续。同时，无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 与 $\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx$ 均收敛。
公式：$f \in C^1([a, +\infty))$
提示：注意连续可微意味着导数连续，但此处主要用到导数的可积性。
步骤 2/4
目标：利用导数的积分收敛性推导出函数极限存在
由牛顿-莱布尼茨公式，对于任意 $b > a$，有 $\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$。由于 $\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx$ 收敛，即 $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f'(x) \, dx$ 存在，因此 $\lim_{b \to +\infty} f(b)$ 存在。记该极限为 $L$。
公式：$\int_a^{+\infty} f'(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} (f(b) - f(a))$
提示：这一步的关键是认识到导数的无穷积分收敛直接给出了原函数极限的存在性，无需额外条件。
步骤 3/4
目标：假设极限非零，利用函数积分收敛性导出矛盾
假设 $L \neq 0$，不妨设 $L > 0$（$L < 0$ 同理）。则存在 $X > a$，使得当 $x > X$ 时，$f(x) > \frac{L}{2} > 0$。于是对于任意 $b > X$，有 $\int_X^b f(x) \, dx > \frac{L}{2} (b - X)$。当 $b \to +\infty$ 时，$\frac{L}{2}(b - X) \to +\infty$，这与 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛矛盾。
公式：$\int_X^b f(x) \, dx > \frac{L}{2}(b - X) \to +\infty$
提示：注意这里需要利用极限的定义找到一致的正下界，否则无法推出积分发散。
步骤 4/4
目标：得出极限必须为零的结论
由于假设 $L \neq 0$ 导致矛盾，故必有 $L = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：结论成立的关键是同时使用了两个积分收敛的条件：一个保证极限存在，一个迫使极限为零。
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