南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
三．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ，证明： $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回忆一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I, |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：利用极限条件得到尾部估计
由 $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - g(x)] = 0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：\exists M > a, \forall x > M: |f(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}
提示：这里取 $\frac{\varepsilon}{3}$ 是为了后续三角不等式放缩时总和小于 $\varepsilon$。
步骤 3/6
目标：处理有限区间 $[a, M+1]$ 上的一致连续性
由于 $g(x)$ 在闭区间 $[a, M+1]$ 上连续，闭区间上的连续函数必一致连续。因此，对上述 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, M+1]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_1$，就有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：\exists \delta_1 > 0, \forall x_1, x_2 \in [a, M+1], |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |g(x_1) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}
提示：闭区间上连续函数的一致连续性是关键定理，注意区间端点 $M+1$ 的选取是为了覆盖可能跨界的点。
步骤 4/6
目标：处理无穷区间 $[M, +\infty)$ 上的一致连续性
因为 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续，对上述 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}$。现在考虑 $x_1, x_2 \in [M, +\infty)$ 且 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，利用三角不等式：
$$|g(x_1) - g(x_2)| \leq |g(x_1) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - g(x_2)|$$
由尾部估计，第一项和第三项均小于 $\frac{\varepsilon}{3}$，第二项小于 $\frac{\varepsilon}{3}$，因此总和小于 $\varepsilon$。
公式：|g(x_1)-g(x_2)| \leq |g(x_1)-f(x_1)| + |f(x_1)-f(x_2)| + |f(x_2)-g(x_2)| < \varepsilon
提示：注意这里 $f$ 的一致连续性保证了 $\delta_2$ 的存在，而 $g$ 的连续性在无穷区间上不能直接使用，需借助 $f$ 和极限条件。
步骤 5/6
目标：合并两个区间并处理跨界情况
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$。对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，若 $|x_1 - x_2| < \delta$，分情况讨论：
- 若 $x_1, x_2 \in [a, M+1]$，由有限区间结论得 $|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon$；
- 若 $x_1, x_2 \in [M, +\infty)$，由无穷区间结论得 $|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon$；
- 若一个小于 $M$，另一个大于 $M$，由于 $|x_1 - x_2| < \delta \leq \delta_1$，且 $\delta_1$ 很小，则较大的点必小于 $M+\delta_1 \leq M+1$，因此两点均落在 $[a, M+1]$ 中，仍可用有限区间结论。
公式：\delta = \min(\delta_1, \delta_2)
提示：跨界情况需要确保 $\delta$ 足够小，使得点不会跳出 $[a, M+1]$，这里 $M+1$ 的取法保证了这一点。
步骤 6/6
目标：得出结论
由一致连续的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$。因此，$g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in [a, +\infty), |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon
提示：证明完成，注意整个证明依赖于 $f$ 的一致连续性和极限条件，缺一不可。
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