南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b) \supset f^{\prime}(c)=0$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与结论
已知函数 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上可微（从而连续），且满足 $f'_+(a) f'_-(b) < 0$。需要证明存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f'(c) = 0$。
公式：$f'_+(a) f'_-(b) < 0$
提示：注意可微性保证了函数在闭区间上连续，且导数存在。
步骤 2/5
目标：分析端点导数的符号含义
由乘积小于零可知 $f'_+(a)$ 与 $f'_-(b)$ 异号。因此有两种可能：
- 情形1：$f'_+(a) > 0$，$f'_-(b) < 0$；
- 情形2：$f'_+(a) < 0$，$f'_-(b) > 0$。
公式：$f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$，$f'_-(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}$
提示：导数的符号反映了函数在端点附近的单调性趋势。
步骤 3/5
目标：情形1：$f'_+(a) > 0$，$f'_-(b) < 0$ 的推理
由 $f'_+(a) > 0$ 及极限保号性，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0$，从而 $f(x) > f(a)$，故 $f(a)$ 不是最大值。
由 $f'_-(b) < 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，$\frac{f(x)-f(b)}{x-b} < 0$，由于 $x-b < 0$，可得 $f(x) > f(b)$，故 $f(b)$ 也不是最大值。
因此最大值必在内部某点 $c \in (a,b)$ 取得。由费马定理，$f'(c)=0$。
公式：$f(x) > f(a)$ 在 $a$ 右侧附近；$f(x) > f(b)$ 在 $b$ 左侧附近
提示：注意分母符号对不等式方向的影响，确保正确判断函数值大小关系。
步骤 4/5
目标：情形2：$f'_+(a) < 0$，$f'_-(b) > 0$ 的推理
由 $f'_+(a) < 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$，从而 $f(x) < f(a)$，故 $f(a)$ 不是最小值。
由 $f'_-(b) > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，$\frac{f(x)-f(b)}{x-b} > 0$，由于 $x-b < 0$，可得 $f(x) < f(b)$，故 $f(b)$ 也不是最小值。
因此最小值必在内部某点 $c \in (a,b)$ 取得。由费马定理，$f'(c)=0$。
公式：$f(x) < f(a)$ 在 $a$ 右侧附近；$f(x) < f(b)$ 在 $b$ 左侧附近
提示：与情形1对称，注意极值类型从最大值变为最小值。
步骤 5/5
目标：综合结论
无论哪种情形，都存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f'(c)=0$。证毕。
公式：$\exists c \in (a,b), f'(c)=0$
提示：本题本质是利用达布定理（导数的介值性）或极值原理，但直接通过端点导数符号分析极值点位置更简洁。
步骤 6/7
目标：应用费马定理得到导数零点
因为 $f(x)$ 在 $c$ 处可微（可微性由 $[a,b]$ 上可微保证），且 $c$ 是内点，$f(c)$ 是最大值，由费马定理，$f'(c)=0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $c$ 可导且 $c$ 是极值点，则 $f'(c)=0$。
提示：费马定理要求函数在极值点可导，这里满足。注意极值点包括最大值和最小值。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在 $c\in(a,b)$，使得 $f'(c)=0$。
提示：结论明确，注意 $c$ 在开区间内。
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