南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内递增，对任何正数 $\displaystyle T, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 上可积，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=C \quad(C \text { 为常数 })
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明极限 L = lim f(x) 存在且有限
由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增，故 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 要么是有限数，要么是 $+\infty$。已知 $\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt \to C$（有限常数），若 $f(x)\to +\infty$，则积分平均值也会趋于无穷，矛盾。因此极限存在且有限，记 $L = \lim_{x\to+\infty} f(x)$。
公式：$L = \lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在且 $L \in \mathbb{R}$
提示：注意递增函数必有极限（可能无穷），但积分平均值有限排除了无穷的情况。
步骤 2/4
目标：证明下界：$L \ge C$
由 $f$ 递增，对任意 $x>0$，有 $f(t) \le f(x)$ 对所有 $t \in [0,x]$ 成立，因此 $\int_0^x f(t)\,dt \le \int_0^x f(x)\,dt = x f(x)$。两边除以 $x$ 得 $\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt \le f(x)$。令 $x\to+\infty$，左边趋于 $C$，右边趋于 $L$，故 $C \le L$。
公式：$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt \le f(x)$，取极限得 $C \le L$
提示：这里利用了积分单调性，注意不等式方向。
步骤 3/4
目标：证明上界：$L \le C$
对任意固定的 $a>0$，当 $x > a$ 时，由 $f$ 递增得 $f(t) \ge f(a)$ 对 $t \in [a,x]$ 成立。于是 $\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^a f(t)\,dt + \int_a^x f(t)\,dt \ge \int_0^a f(t)\,dt + (x-a)f(a)$。两边除以 $x$：$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt \ge \frac{1}{x}\int_0^a f(t)\,dt + \frac{x-a}{x}f(a)$。令 $x\to+\infty$，左边趋于 $C$，右边第一项趋于 $0$，第二项趋于 $f(a)$，故 $C \ge f(a)$。由于 $a$ 任意，取 $a\to+\infty$ 得 $C \ge L$。
公式：$C \ge f(a)$ 对任意 $a>0$ 成立，故 $C \ge L$
提示：注意固定 $a$ 后取极限，再让 $a$ 趋于无穷，这是处理递增函数极限的常用技巧。
步骤 4/4
目标：综合结论
由 $C \le L$ 和 $C \ge L$ 可得 $L = C$，即 $\lim_{x\to+\infty} f(x) = C$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} f(x) = C$
提示：注意证明中未用到 $f$ 的可积性细节，仅需递增和积分平均极限存在。
步骤 5/6
目标：综合得到极限存在且等于 C
由前两步得到：
$$\limsup_{x\to\infty} f(x) \le C \le \liminf_{x\to\infty} f(x).$$
但总有 $\liminf f(x) \le \limsup f(x)$，因此只能有相等：
$$\limsup_{x\to\infty} f(x) = \liminf_{x\to\infty} f(x) = C.$$
故极限存在且等于 $C$。
公式：\limsup f(x) \le C \le \liminf f(x) \Rightarrow \lim_{x\to\infty} f(x) = C
提示：上极限与下极限相等是极限存在的充要条件。
步骤 6/6
目标：结论
因此我们证明了：
$$\boxed{\lim_{x\to+\infty} f(x) = C}.$$
公式：\lim_{x\to+\infty} f(x) = C
提示：证明完成，注意递增性在推导上下界时不可或缺。
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