南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
八、设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限为 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1-}(1-x) f(x)=a$ ．（10 分）对 $\displaystyle \frac{a_{n}}{a} \frac{\left.a_{n}\right)^{n}}{a_{n}}=$.
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=\widetilde{\left(x^{2}+4 y^{2}\right)^{2}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数在(-1,1)内有定义（即收敛）
因为 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，所以数列 $\{a_n\}$ 有界，即存在 $M>0$，使得对所有 $n$ 有 $|a_n| \le M$。对于任意固定的 $x\in(-1,1)$，有 $|x|<1$，那么 $|a_n x^n| \le M |x|^n$。而 $\sum_{n=1}^\infty M|x|^n$ 是公比为 $|x|<1$ 的几何级数，收敛。由比较判别法，原级数绝对收敛，因此在 $(-1,1)$ 内每一点都有定义。
公式：|a_n x^n| \le M |x|^n, \quad \sum_{n=1}^\infty M|x|^n \text{ 收敛}
提示：注意这里需要先说明数列有界，这是由极限存在保证的。比较判别法要求正项级数，这里用了绝对值，所以是绝对收敛。
步骤 2/4
目标：将目标表达式与极限a联系起来
考虑 $(1-x)f(x) = (1-x)\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$。令 $b_n = a_n - a$，则 $\lim b_n = 0$，且 $a_n = a + b_n$。于是
$$
(1-x)f(x) = (1-x)\sum_{n=1}^\infty (a+b_n)x^n = a(1-x)\sum_{n=1}^\infty x^n + (1-x)\sum_{n=1}^\infty b_n x^n.
$$
由几何级数公式 $(1-x)\sum_{n=1}^\infty x^n = x$（$|x|<1$），得
$$
(1-x)f(x) = a x + (1-x)\sum_{n=1}^\infty b_n x^n.
$$
公式：(1-x)\sum_{n=1}^\infty x^n = x, \quad a_n = a + b_n
提示：引入$b_n$是处理极限问题的常用技巧，将一般项分解为常数项和趋于零的项。
步骤 3/4
目标：证明余项趋于零
因为 $b_n\to 0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|b_n|<\varepsilon$。将和分成两部分：
$$
\sum_{n=1}^\infty b_n x^n = \sum_{n=1}^N b_n x^n + \sum_{n=N+1}^\infty b_n x^n.
$$
于是
$$
(1-x)\sum_{n=1}^\infty b_n x^n = (1-x)\sum_{n=1}^N b_n x^n + (1-x)\sum_{n=N+1}^\infty b_n x^n.
$$
第一项：因为 $N$ 固定，当 $x\to 1^-$ 时 $(1-x)\to 0$，所以这一项趋于 $0$。
第二项：
$$
\left| (1-x)\sum_{n=N+1}^\infty b_n x^n \right| \le (1-x)\sum_{n=N+1}^\infty \varepsilon x^n = \varepsilon (1-x) \frac{x^{N+1}}{1-x} = \varepsilon x^{N+1} < \varepsilon.
$$
因此对任意 $\varepsilon>0$，当 $x$ 充分接近 $1$ 时，整个表达式绝对值小于 $2\varepsilon$，即极限为 $0$。
公式：\left| (1-x)\sum_{n=N+1}^\infty b_n x^n \right| \le \varepsilon x^{N+1} < \varepsilon
提示：这里的关键是利用$b_n$的任意小性，将无穷级数放缩为几何级数求和，注意$(1-x)$与分母$(1-x)$抵消。
步骤 4/4
目标：得出结论
由前两步，我们有
$$
\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = \lim_{x\to 1^-} \left( a x + (1-x)\sum_{n=1}^\infty b_n x^n \right) = a \cdot 1 + 0 = a.
$$
因此原命题得证。
公式：\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = a
提示：注意极限过程是$x\to 1^-$，即从左侧趋近于1，此时$x<1$，几何级数公式成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
由以上推导，$\lim_{x\to 1^-} (1-x)\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x^n = 0$，因此 $\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = \lim_{x\to 1^-} a x + 0 = a$。
公式：\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = a
提示：极限过程是 $x\to 1^-$，即从左侧趋近于1，注意 $x$ 不能等于1。
步骤 6/6
目标：综合两部分结果，得出结论
由前两步，$\lim_{x\to 1^-} S(x) = \lim_{x\to 1^-} [a(1-x)\sum_{n=1}^\infty x^n + R(x)] = a + 0 = a$。因此 $\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = a$，证毕。
公式：$\lim_{x\to 1^-} (1-x)\sum_{n=1}^\infty a_n x^n = a$
提示：这是Abel求和定理的一个特例，注意极限过程是 $x \to 1^-$（左极限）。
步骤 7/8
目标：处理无穷项部分和常数项
对于 $n>N$，$|a_n - a| < \varepsilon/2$，则 $(1-x)\sum_{n=N+1}^\infty |a_n - a| x^n \leq (1-x)\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n=N+1}^\infty x^n = \frac{\varepsilon}{2} x^{N+1} < \frac{\varepsilon}{2}$。另外，$|a|(1-x) \to 0$，存在 $\delta_2>0$ 使得当 $1-\delta_2 < x < 1$ 时 $|a|(1-x) < \varepsilon/2$。
公式：$(1-x)\sum_{n=N+1}^\infty x^n = x^{N+1}$
提示：注意 $x^{N+1}<1$。
步骤 8/8
目标：综合得出极限
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $1-\delta < x < 1$ 时，$|S(x)-a| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$（实际三项之和小于 $\varepsilon$，但注意有限项部分已小于 $\varepsilon/2$，无穷项部分小于 $\varepsilon/2$，常数项部分小于 $\varepsilon/2$，总和小于 $\varepsilon$）。因此 $\lim_{x\to 1^-} (1-x)f(x) = a$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，极限定义得证。
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