南京师范大学 2012年数学分析第0题

考虑函数序列 \( f_n(x) = \sin^n x + \cos^n x \)，其中 \( n \) 是自然数，区间为 \( \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right] \)。要证明方程 \( f_n(x) = 1 \) 在此区间内有且仅有一个解。

求导得 \( f_n'(x) = n \sin^{n-1} x \cos x - n \cos^{n-1} x \sin x = n \sin x \cos x (\sin^{n-2} x - \cos^{n-2} x) \)。在区间 \( (\pi/6, \pi/2) \) 上，\( \sin x > 0, \cos x > 0 \)，故导数的符号由 \( \sin^{n-2} x - \cos^{n-2} x \) 决定。

当 \( x = \pi/4 \) 时，\( \sin x = \cos x \)，差为0。当 \( x < \pi/4 \) 时，\( \sin x < \cos x \)，对于 \( n>2 \)，\( \sin^{n-2}x < \cos^{n-2}x \)，差为负，导数为负，函数递减；当 \( x > \pi/4 \) 时，\( \sin x > \cos x \)，差为正，导数为正，函数递增。对于 \( n=1 \)，导数 \( \cos x - \sin x \)，同样在 \( \pi/4 \) 左侧递减、右侧递增。

左端点 \( x = \pi/6 \)：\( \sin(\pi/6) = 1/2, \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \)，故 \( f_n(\pi/6) = (1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n \)。当 \( n=1 \) 时，值为 \( 0.5+0.866=1.366>1 \)；当 \( n=3 \) 时，值为 \( 0.125+0.6495=0.7745<1 \)。右端点 \( x = \pi/2 \)：\( \sin(\pi/2)=1, \cos(\pi/2)=0 \)，故 \( f_n(\pi/2) = 1^n + 0^n = 1 \)。

当 \( n=1 \) 时，\( f_1(\pi/6) > 1 \)，函数在 \( (\pi/6, \pi/4) \) 递减，在 \( (\pi/4, \pi/2) \) 递增，最小值在 \( x=\pi/4 \) 处为 \( \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 \)，故在整个区间上 \( f_1(x) > 1 \)，仅在右端点 \( x=\pi/2 \) 处等于1。因此方程有且仅有一个解 \( x=\pi/2 \)。

当 \( n \ge 3 \) 时，\( f_n(\pi/6) < 1 \)，函数在 \( (\pi/6, \pi/4) \) 递减，在 \( (\pi/4, \pi/2) \) 递增，最小值在 \( x=\pi/4 \) 处为 \( 2^{1-n/2} < 1 \)。函数值从小于1下降到更低的最小值，再严格递增到右端点的1。由连续性和严格单调性，在 \( (\pi/4, \pi/2) \) 内存在唯一一点使函数值等于1，而该点正是右端点 \( x=\pi/2 \)。因此方程有且仅有一个解 \( x=\pi/2 \)。

对于任意自然数 \( n \neq 2 \)，方程 \( \sin^n x + \cos^n x = 1 \) 在 \( \left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right] \) 内有且仅有一个解，即 \( x = \frac{\pi}{2} \)。当 \( n=2 \) 时，方程恒成立，解不唯一。