南京师范大学 2012年数学分析第0题

设 $f_n(x) = \sin^n x + \cos^n x$，$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$。方程 $f_n(x) = 1$ 的解记为 $x_n$，需证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{\pi}{6}$。

计算端点值： - 当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时，$\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$，$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $f_n\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac12\right)^n + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$。由于 $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$，当 $n$ 足够大时 $f_n\left(\frac{\pi}{6}\right) < 1$。 - 当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$，故 $f_n\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1^n + 0^n = 1$，即 $\frac{\pi}{2}$ 是方程的一个解。

对固定 $n$，求导：$g_n'(x) = n\sin^{n-1}x \cos x - n\cos^{n-1}x \sin x = n\sin x \cos x (\sin^{n-2}x - \cos^{n-2}x)$。 在 $[\pi/6, \pi/2]$ 上 $\sin x \cos x > 0$，导数符号由 $\sin^{n-2}x - \cos^{n-2}x$ 决定： - 当 $x < \pi/4$ 时，$\sin x < \cos x$，导数为负，函数递减； - 当 $x > \pi/4$ 时，$\sin x > \cos x$，导数为正，函数递增。 因此 $x = \pi/4$ 是极小值点。

在 $x = \pi/4$ 处：$f_n\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n = 2^{1-\frac{n}{2}}$。当 $n > 2$ 时，$2^{1-\frac{n}{2}} < 1$。 结合端点值：$f_n(\pi/6) < 1$，$f_n(\pi/2) = 1$，且函数在 $[\pi/6, \pi/4]$ 递减，在 $[\pi/4, \pi/2]$ 递增，最小值小于 1。因此除 $x = \pi/2$ 外，在 $[\pi/6, \pi/4)$ 内存在唯一解 $x_n$ 满足 $f_n(x_n)=1$。

对任意 $\delta > 0$ 很小，考虑区间 $[\pi/6 + \delta, \pi/2]$。当 $x \ge \pi/6 + \delta$ 时，$\sin x \ge \sin(\pi/6+\delta) > 1/2$，$\cos x \le \cos(\pi/6+\delta) < \sqrt{3}/2$。由于 $\sin(\pi/6+\delta) < 1$ 且 $\cos(\pi/6+\delta) < 1$，当 $n$ 足够大时，$\sin^n x$ 和 $\cos^n x$ 都趋于 0，故 $f_n(\pi/6+\delta) < 1$。 而 $f_n(\pi/2)=1$，且函数在 $[\pi/6+\delta, \pi/2]$ 上先减后增（最小值在 $\pi/4$ 处），因此解 $x_n$ 必然落在 $(\pi/6, \pi/6+\delta)$ 中。 由极限定义，$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{\pi}{6}$。

由以上推理，方程 $\sin^n x + \cos^n x = 1$ 在 $[\pi/6, \pi/2]$ 上的解 $x_n$（除 $\pi/2$ 外）满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = \pi/6$。