南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
十、（1），证明 $\displaystyle l(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{y}{2+y^{x}} d y$ 在 $\displaystyle (2,+\infty)$ 内连续；
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\ln _{n \rightarrow b} a_{n}=a .
$$
（2）利甲欧拉积分计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} d x$ ；其中 $\displaystyle \Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} ;(0<s<1)$ 。（15分）。
$$
m \times \frac{m}{n_{n}}-\frac{1}{n^{2}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析被积函数在积分区间端点的性态，判断积分收敛性
被积函数为 \( f(x,y) = \frac{y}{2+y^x} \)，其中 \( x>2 \) 为参数。
当 \( y \to 0^+ \) 时，\( y^x \to 0 \)，故 \( f(x,y) \sim \frac{y}{2} \)，在0附近可积（幂次为1）。
当 \( y \to +\infty \) 时，\( y^x \) 增长快于 \( y \)，故 \( f(x,y) \sim \frac{y}{y^x} = y^{1-x} \)，由于 \( x>2 \)，有 \( 1-x < -1 \)，因此在无穷远处绝对可积。
综上，对每个固定的 \( x>2 \)，积分 \( l(x) \) 收敛。
公式：\frac{y}{2+y^x} \sim \begin{cases} \frac{y}{2}, & y\to 0^+ \\ y^{1-x}, & y\to +\infty \end{cases}
提示：注意判断反常积分收敛性时，要分别考虑0点和无穷远点两个奇点，并利用比较判别法。
步骤 2/7
目标：构造一致收敛的控制函数，证明含参积分在任意闭区间上一致收敛
取任意闭区间 \( [a,b] \subset (2,+\infty) \)，则对任意 \( x \in [a,b] \)：
当 \( y \ge 1 \) 时，由于 \( x \ge a > 2 \)，有 \( y^x \ge y^a \)，从而 \( \frac{y}{2+y^x} \le \frac{y}{y^a} = y^{1-a} \)，而 \( 1-a < -1 \)，故 \( y^{1-a} \) 在 \( [1,+\infty) \) 上可积。
当 \( 0 < y \le 1 \) 时，由于 \( x \le b \)，有 \( y^x \ge y^b \)（因为 \( 0
公式：\left| \frac{y}{2+y^x} \right| \le g(y) = \begin{cases} \frac{y}{2}, & 0
提示：构造控制函数时，要特别注意 \( 0
步骤 3/7
目标：利用含参积分连续性定理得出结论
被积函数 \( f(x,y) = \frac{y}{2+y^x} \) 对每个固定的 \( y>0 \) 是 \( x \) 的连续函数（在 \( (2,+\infty) \) 上）。由第二步，积分在任意闭区间 \( [a,b] \subset (2,+\infty) \) 上一致收敛。根据含参积分连续性定理（极限与积分可交换），\( l(x) \) 在 \( [a,b] \) 上连续。由 \( [a,b] \) 的任意性，\( l(x) \) 在 \( (2,+\infty) \) 上连续。
公式：\lim_{x\to x_0} \int_0^{+\infty} f(x,y)\,dy = \int_0^{+\infty} \lim_{x\to x_0} f(x,y)\,dy
提示：含参积分连续性定理的条件是：被积函数连续且积分一致收敛，两者缺一不可。
步骤 4/7
目标：将所求积分化为Beta函数形式
考虑一般公式：\( \int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{1+x^q} dx = \frac{1}{q} B\left(\frac{p}{q}, 1-\frac{p}{q}\right) \)，其中 \( B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \)。
对于积分 \( \int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx \)，令 \( p-1=2 \) 得 \( p=3 \)，且 \( q=4 \)。代入公式得：
\[ \int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} B\left(\frac{3}{4}, 1-\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4} B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right) \]
公式：\int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{1+x^q} dx = \frac{1}{q} B\left(\frac{p}{q}, 1-\frac{p}{q}\right)
提示：注意公式中分子是 \( x^{p-1} \)，所以当被积函数为 \( x^2 \) 时，应取 \( p-1=2 \) 即 \( p=3 \)。
步骤 5/7
目标：用Gamma函数表示Beta函数
由Beta函数与Gamma函数的关系：\( B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right) = \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4+1/4)} = \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/4)}{\Gamma(1)} \)。
由于 \( \Gamma(1)=1 \)，所以原积分 \( = \frac{1}{4} \Gamma(3/4)\Gamma(1/4) \)。
公式：B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
提示：Gamma函数的基本性质：\( \Gamma(1)=1 \)，\( \Gamma(n+1)=n! \) 对正整数成立。
步骤 6/7
目标：利用余元公式计算Gamma函数乘积
已知余元公式：\( \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} \)，其中 \( 0
公式：\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}
提示：注意 \( \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \)，倒数即为 \( \sqrt{2} \)，不要算错。
步骤 7/7
目标：得出最终积分结果
将上一步结果代入：
\[ \int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \cdot \pi\sqrt{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4} \]
公式：\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}
提示：最终结果应化简为最简形式，不要保留分数与根号相乘的未化简形式。
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