南京师范大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
四．设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \left.\quad q>r^{n}=m \sqrt[n]{n}\right)^{n} \neq 0$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \quad$ of $\displaystyle \quad \forall \quad \forall 0 \quad 7^{\circ} \quad h^{m} \quad r \sqrt{n}=n^{-b} \quad$ 当
（2）当数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$
（3）当 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \sim$ ar
对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目并解读三个命题
题目给出数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，要求判断三个关于极限 $\lim_{n\to\infty} n a_n$ 的命题是否正确。命题(1)无条件成立；命题(2)在 $\{a_n\}$ 单调时成立；命题(3)在 $a_n>0$ 时成立。需要分别证明或给出反例。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}
提示：注意级数收敛只保证 $a_n\to 0$，但 $n a_n$ 不一定趋于0。
步骤 2/5
目标：分析命题(1)：一般收敛级数是否必有 $\lim n a_n = 0$
考虑反例：$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。该级数为交错级数，通项绝对值 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知级数收敛。但 $n a_n = (-1)^n \sqrt{n}$，其绝对值趋于无穷大，故 $\lim_{n\to\infty} n a_n$ 不存在，更不为0。因此命题(1)错误。
公式：a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \quad n a_n = (-1)^n \sqrt{n}
提示：交错级数收敛但 $n a_n$ 可能无界，这是常见反例。
步骤 3/5
目标：分析命题(2)：当 $\{a_n\}$ 单调时，是否必有 $\lim n a_n = 0$
由于级数收敛，$a_n\to 0$。若 $\{a_n\}$ 单调，则必为单调递减（若单调递增且趋于0，则所有项非正，但正项级数收敛时递减是典型情形）。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$\sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$。由单调递减，$n a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon$，故 $2n a_{2n} < 2\varepsilon$，从而子列 $\{2n a_{2n}\}$ 趋于0。结合单调性可推出 $\lim_{n\to\infty} n a_n = 0$。因此命题(2)正确。
公式：n a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \varepsilon
提示：关键技巧：利用部分和 $\sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ 的收敛性夹逼 $n a_{2n}$。
步骤 4/5
目标：分析命题(3)：当 $a_n>0$ 时，是否必有 $\lim n a_n = 0$
考虑反例：定义 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & n \text{ 为完全平方数} \\ \frac{1}{n^2}, & \text{其他} \end{cases}$。则级数 $\sum a_n$ 收敛，因为非平方项构成收敛的 $\sum 1/n^2$，平方项为 $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2$ 也收敛。但当 $n$ 为完全平方数时，$n a_n = 1$，不趋于0。因此命题(3)错误。
公式：a_n = \begin{cases} 1/n, & n=m^2 \\ 1/n^2, & \text{otherwise} \end{cases}, \quad n a_n \to 1 \text{ 沿子列}
提示：正项级数收敛不能保证 $n a_n \to 0$，反例需构造稀疏的大项。
步骤 5/5
目标：总结三个命题的正确性
结论：(1) 错误，反例为 $a_n = (-1)^n/\sqrt{n}$；(2) 正确，证明利用单调性和部分和估计；(3) 错误，反例为在平方数处取 $1/n$ 的构造。
公式：\text{最终答案：}(1)\times,\ (2)\checkmark,\ (3)\times
提示：注意区分条件：单调性可推出 $n a_n\to0$，但正项或一般收敛均不能保证。
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