南京师范大学 2013年数学分析第0题

对于 $x \in [0, \pi/2]$，$\sin x$ 的取值范围是 $[0,1]$。当 $n$ 很大时，$\sin^n x$ 在大部分区间内迅速衰减到 $0$，仅在 $x = \pi/2$ 附近保持较大值。因此积分的主要贡献来自 $\pi/2$ 的一个小邻域，提示极限可能为 $0$。

记 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$。利用分部积分：令 $u = \sin^{n-1} x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx$，$v = -\cos x$。于是 \[ I_n = \left[-\sin^{n-1} x \cos x\right]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx = (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1-\sin^2 x) \, dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n). \] 解得递推关系：$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$。

初始值：$I_0 = \frac{\pi}{2}$，$I_1 = 1$。 - 当 $n=2k$ 为偶数时： \[ I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2} \cdot \frac{\pi}{2}. \] - 当 $n=2k+1$ 为奇数时： \[ I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{(2^k k!)^2}{(2k+1)!}. \]

对任意 $\delta \in (0, \pi/2)$，将积分分段： \[ I_n = \int_0^{\pi/2-\delta} \sin^n x \, dx + \int_{\pi/2-\delta}^{\pi/2} \sin^n x \, dx. \] 在第一段中，$\sin x \le \sin(\pi/2-\delta) = \cos \delta < 1$，故 \[ \int_0^{\pi/2-\delta} \sin^n x \, dx \le \frac{\pi}{2} (\cos \delta)^n \to 0 \quad (n \to \infty). \] 第二段长度 $\delta$，且 $\sin^n x \le 1$，故 \[ \int_{\pi/2-\delta}^{\pi/2} \sin^n x \, dx \le \delta. \] 对任意 $\epsilon > 0$，取 $\delta < \epsilon/2$，再取 $N$ 充分大使得第一段 $< \epsilon/2$，则 $I_n < \epsilon$。因此 $\lim_{n\to\infty} I_n = 0$。

由夹逼定理，极限值为 $0$。

综合以上分析，无论使用递推公式、Wallis 公式还是分割估计，都得到相同结果：当 \(n \to \infty\) 时，积分 \(\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx\) 趋于 0。