南京师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{n^{2}}\left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原表达式改写为指数形式，便于分析
原式为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{n^{2}} \left( \tan \frac{1}{n} \right)^{n^{2}}$。由于指数相同，可以合并底数：$n^{n^2} \cdot (\tan\frac{1}{n})^{n^2} = \left( n \tan\frac{1}{n} \right)^{n^2}$。因此极限化为 $L = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( n \tan\frac{1}{n} \right)^{n^2}$。
公式：$\left( n \tan\frac{1}{n} \right)^{n^2}$
提示：注意合并底数时指数相同，不要混淆幂的运算顺序。
步骤 2/4
目标：分析底数 $n \tan(1/n)$ 在 $n \to \infty$ 时的渐近行为
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$。利用 $\tan x$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。令 $x = \frac{1}{n}$，则 $n \tan\frac{1}{n} = n \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{3n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right) \right) = 1 + \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$。因此底数趋近于1，且略大于1。
公式：$n \tan\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$
提示：泰勒展开时注意保留到足够阶数，这里需要 $\frac{1}{n^2}$ 项，因为后面要乘以 $n^2$。
步骤 3/4
目标：取对数将幂指型极限转化为乘积极限
设 $y_n = \left( n \tan\frac{1}{n} \right)^{n^2}$，则 $\ln y_n = n^2 \ln\left( n \tan\frac{1}{n} \right)$。由第二步，$n \tan\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$。令 $u = \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$，当 $n \to \infty$ 时 $u \to 0$，利用 $\ln(1+u) \sim u$，得 $\ln\left( n \tan\frac{1}{n} \right) = \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$。
公式：$\ln\left( n \tan\frac{1}{n} \right) = \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right)$
提示：使用 $\ln(1+u) \sim u$ 时，要确保 $u \to 0$，且注意 $O$ 项的处理。
步骤 4/4
目标：计算 $\ln y_n$ 的极限并还原出原极限
代入得 $\ln y_n = n^2 \left( \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right) = \frac{1}{3} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，$O\left(\frac{1}{n^2}\right) \to 0$，因此 $\ln y_n \to \frac{1}{3}$。由对数连续性，$y_n \to e^{1/3}$。故原极限为 $e^{1/3}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \ln y_n = \frac{1}{3}$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = e^{1/3}$
提示：最后一步不要忘记取指数还原，且注意极限运算与指数运算的交换性。
步骤 5/6
目标：代回对数表达式并求极限
将展开结果代入 \(\ln y = n^2 \left( \frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right) = \frac{1}{3} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\)。当 \(n \to \infty\) 时，\(\ln y \to \frac{1}{3}\)，因此 \(y \to e^{1/3}\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \ln y = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} y = e^{1/3}
提示：注意 \(O(1/n^2)\) 项趋于0，极限由主项决定。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
原极限为 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{n^{2}}\left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}} = e^{1/3}\)。
公式：\boxed{e^{1/3}}
提示：答案以指数形式给出，不可化简为其他形式。
步骤 7/7
目标：得出最终极限值
由 \(\ln L = \frac{1}{3}\) 得 \(L = e^{1/3}\)。
公式：\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{n^2} \left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^2} = e^{1/3}
提示：最终结果是指数形式，不要忘记取指数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。