南京师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
2．$(1,+\infty)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目意图
题目仅给出区间$(1,+\infty)$，这通常是某个数学分析问题的答案。常见情形包括：求函数定义域、单调区间、收敛区间等。例如，可能是求函数$f(x)=\frac{1}{\ln x}$的定义域，但该函数定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$，与给定区间不符；或者求幂级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{n}$的收敛区间，其收敛区间为$(1,3]$，也不完全匹配。因此，需要补充完整题目。
提示：注意：区间$(1,+\infty)$表示所有大于1的实数，不包括1。
步骤 2/5
目标：假设一种常见题型：求函数定义域
假设原题为：求函数$f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定义域。
第一步：真数部分要求$x-1>0$，即$x>1$。
第二步：分母不能为零，即$\ln(x-1)\neq0$，所以$x-1\neq1$，即$x\neq2$。
第三步：综合得定义域为$(1,2)\cup(2,+\infty)$。这与$(1,+\infty)$不完全一致，说明原题可能有其他条件。
公式：\ln(x-1)\neq0 \Rightarrow x-1\neq1 \Rightarrow x\neq2
提示：易错点：忘记考虑分母不为零的条件，导致错误地认为定义域为$(1,+\infty)$。
步骤 3/5
目标：假设另一种常见题型：求幂级数收敛区间
假设原题为：求幂级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{n}$的收敛区间。
第一步：使用比值审敛法，计算$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$，所以收敛半径$R=1$。
第二步：收敛区间中心为$x=2$，因此初步得到$|x-2|<1$，即$1
公式：R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=1
提示：易错点：忘记检查端点收敛性，直接写为$(1,3)$。
步骤 4/5
目标：假设第三种常见题型：求单调区间
假设原题为：求函数$f(x)=\ln(x-1)$的单调递增区间。
第一步：函数定义域为$x>1$。
第二步：求导得$f'(x)=\frac{1}{x-1}$，当$x>1$时，$f'(x)>0$恒成立。
第三步：因此函数在$(1,+\infty)$上单调递增。
这与给定区间完全一致，可能是原题答案。
公式：f'(x)=\frac{1}{x-1}>0,\quad x>1
提示：注意：单调区间必须在定义域内讨论，不能超出定义域。
步骤 5/5
目标：总结与建议
由于题目不完整，以上仅为常见情形的推测。要得到准确解答，请提供完整题目文字。例如：
- 求函数$f(x)=\ln(x-1)$的单调区间？
- 求幂级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{n}$的收敛域？
- 求函数$f(x)=\frac{1}{\ln x}$的定义域？
收到完整题目后，可立即给出精确解题步骤。
提示：务必确认题目条件，避免因信息不全导致错误。
步骤 6/6
目标：写出定义域区间表示
定义域为 \( (1, +\infty) \)。
公式：(1, +\infty)
提示：区间端点1处开区间，因为 \( x=1 \) 时函数无定义。
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