南京师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
1．设正项然数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件与目标
已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，且 $u_n > 0$。对于任意给定的常数 $k>0$，要证明正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n$ 也发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，$u_n>0$
提示：注意“正项然数”为笔误，应理解为“正项级数”。
步骤 2/5
目标：建立不等式关系
由于 $k>0$ 且 $\frac{1}{n^2}>0$ 对所有正整数 $n$ 成立，因此 $k + \frac{1}{n^2} > k$，从而有 $\left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n > k u_n$ 对所有 $n$ 成立。
公式：$\left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n > k u_n$
提示：不等号方向取决于 $u_n>0$，确保比较判别法适用。
步骤 3/5
目标：分析比较级数的发散性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n = k \sum_{n=1}^{\infty} u_n$。由于 $\sum u_n$ 发散且 $k>0$，数乘正数不改变发散性，故 $\sum k u_n$ 发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} k u_n = k \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
提示：数乘正数不改变级数的收敛性，这是级数基本性质。
步骤 4/5
目标：应用比较判别法
对于正项级数，若 $\sum b_n$ 发散且 $0 < a_n \leq b_n$，则 $\sum a_n$ 发散。这里取 $a_n = k u_n$，$b_n = \left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n$，由 $a_n < b_n$ 且 $\sum a_n$ 发散，得 $\sum b_n$ 发散。
公式：比较判别法：若 $0 < a_n \leq b_n$ 且 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散
提示：注意比较判别法要求正项级数，且需确认不等式方向正确。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对于任意给定的 $k>0$，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n$ 发散，命题成立。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \left(k + \frac{1}{n^2}\right) u_n$ 发散
提示：结论对任意 $k>0$ 均成立，无需额外条件。
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