南京师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数项级数在 $(0,+\infty)$ 上逐点收敛
对于任意固定的 $x>0$，考虑通项 $u_n(x)=3^n\sin\frac{1}{5^n x}$。当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{5^n x}\to 0$，利用等价无穷小 $\sin t\sim t\ (t\to 0)$，有 $u_n(x)\sim 3^n\cdot\frac{1}{5^n x}=\left(\frac{3}{5}\right)^n\frac{1}{x}$。由于 $\frac{3}{5}<1$，故对固定的 $x$，通项绝对值以几何级数衰减，级数绝对收敛。更严格地，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，$\left|\sin\frac{1}{5^n x}\right|\le \frac{2}{5^n x}$，于是 $|u_n(x)|\le \frac{2}{x}\left(\frac{3}{5}\right)^n$，由比较判别法知级数收敛。
公式：$$u_n(x)\sim \left(\frac{3}{5}\right)^n\frac{1}{x},\quad \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n \text{收敛}$$
提示：注意等价无穷小的使用条件是 $t\to 0$，这里 $t=\frac{1}{5^n x}$ 确实趋于0，但需要说明 $x>0$ 固定。
步骤 2/4
目标：明确一致收敛的必要条件
若函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则通项 $u_n(x)$ 必须在 $I$ 上一致趋于 $0$，即 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|u_n(x)|=0$。这是证明不一致收敛的常用反证法基础。
公式：$$\text{一致收敛}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|u_n(x)|=0$$
提示：该条件是必要但不充分的，常用于否定一致收敛。
步骤 3/4
目标：构造点列破坏一致收敛条件
取点列 $x_n=\frac{2}{5^n\pi}\in(0,+\infty)$，则 $\frac{1}{5^n x_n}=\frac{\pi}{2}$，于是 $\sin\frac{1}{5^n x_n}=1$。因此第 $n$ 项在 $x_n$ 处的值为 $u_n(x_n)=3^n\cdot 1=3^n$。计算上确界：$\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge |u_n(x_n)|=3^n$，且 $3^n\to\infty$ 当 $n\to\infty$。故通项不一致趋于 $0$。
公式：$$x_n=\frac{2}{5^n\pi},\quad u_n(x_n)=3^n,\quad \sup_{x>0}|u_n(x)|\ge 3^n\to\infty$$
提示：构造点列的关键是让 $\sin\frac{1}{5^n x}$ 取到最大值 $1$，从而放大通项。
步骤 4/4
目标：得出结论：级数不一致收敛
由第2步的必要条件，若级数一致收敛，则必有 $\sup_{x>0}|u_n(x)|\to 0$。但第3步已证 $\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge 3^n\to\infty$，矛盾。因此该级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x>0}|u_n(x)|\neq 0\Rightarrow \text{不一致收敛}$$
提示：注意这里只需证明通项不一致趋于0即可，无需直接处理余项。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上步骤：
1. 对每个固定的 $x > 0$，级数绝对收敛，故逐点收敛。
2. 由于通项在 $(0,+\infty)$ 上不一致趋于 $0$，级数不一致收敛。
因此，该函数项级数在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不一致收敛。
公式：无
提示：证明不一致收敛时，构造反例点列是常用方法，注意点列必须属于定义域。
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