南京师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
六、证明下列各题。（15分）
1．设正项然数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，
2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明第一题：利用比较判别法将原级数与发散级数比较
已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，且 $k>0$ 为任意常数。由于 $k+\frac{1}{n^2} \ge k > 0$，因此对每个 $n$ 有 $\left(k+\frac{1}{n^2}\right) u_n \ge k u_n$。考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n = k \sum_{n=1}^{\infty} u_n$，因为 $\sum u_n$ 发散且 $k>0$，所以 $k\sum u_n$ 也发散。由正项级数的比较判别法，若一个级数的通项不小于一个发散级数的通项，则该级数必发散。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(k+\frac{1}{n^2}\right) u_n$ 发散。
公式：$\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_n \ge k u_n$，且 $\sum k u_n$ 发散
提示：注意比较判别法要求两个级数都是正项级数，这里 $u_n>0$ 且 $k+1/n^2>0$，条件满足。
步骤 2/4
目标：证明第二题：逐点收敛性
对任意固定的 $x>0$，考虑通项 $a_n(x)=3^n \sin\frac{1}{5^n x}$。利用不等式 $|\sin t| \le |t|$（对所有实数 $t$ 成立），可得 $|a_n(x)| \le 3^n \cdot \frac{1}{5^n x} = \left(\frac{3}{5}\right)^n \cdot \frac{1}{x}$。由于 $\frac{3}{5}<1$，几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n$ 收敛，因此对每个固定的 $x>0$，原级数绝对收敛，从而收敛。
公式：$|3^n \sin\frac{1}{5^n x}| \le \left(\frac{3}{5}\right)^n \cdot \frac{1}{x}$
提示：这里使用了 $|\sin t| \le |t|$ 的放缩，注意 $x>0$ 保证分母不为零。
步骤 3/4
目标：证明第二题：不一致收敛性（构造反例）
要证明不一致收敛，考虑余项 $R_N(x)=\sum_{n=N+1}^{\infty} 3^n \sin\frac{1}{5^n x}$。取特殊点列 $x_N = \frac{1}{5^N}$，则当 $n=N+1$ 时，$\frac{1}{5^{N+1} x_N} = \frac{1}{5^{N+1} \cdot \frac{1}{5^N}} = \frac{1}{5}$，于是第 $N+1$ 项为 $3^{N+1} \sin\frac{1}{5}$。由于 $\sin\frac{1}{5}>0$ 是常数，当 $N\to\infty$ 时，$3^{N+1}\sin\frac{1}{5} \to +\infty$，因此余项 $R_N(x_N)$ 不能趋于0。由一致收敛的柯西准则（或余项一致趋于0的等价条件），原级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$x_N = \frac{1}{5^N}$ 时，第 $N+1$ 项为 $3^{N+1}\sin\frac{1}{5}$
提示：不一致收敛的证明关键是找到使通项或余项不能一致小的点列，这里利用了指数增长项 $3^{N+1}$ 的爆炸性。
步骤 4/4
目标：总结两题结论
第一题：由比较判别法直接得证，核心是 $k+1/n^2 \ge k$ 且 $\sum u_n$ 发散。第二题：逐点收敛由 $|\sin t| \le |t|$ 放缩为等比级数得到；不一致收敛通过取 $x=1/5^N$ 使第 $N+1$ 项无界得到。
公式：无新公式
提示：注意第二题中 $x$ 可以任意接近0，导致 $1/(5^n x)$ 可能很大，但 $\sin$ 的有界性仍被 $|\sin t| \le 1$ 限制，但这里放缩用的是 $|\sin t| \le |t|$，当 $x$ 很小时 $1/(5^n x)$ 很大，放缩失效，但逐点收敛时 $x$ 固定，$n$ 充分大后 $1/(5^n x)$ 很小，放缩有效。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，第1小题由比较判别法直接得证；第2小题通过不等式证明逐点收敛，并通过构造点列 $x_n = 1/5^n$ 说明通项不一致趋于零，从而级数不一致收敛。
公式：\text{第1小题：发散；第2小题：收敛但不一致收敛}
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛的区别，一致收敛要求余项在整体区间上一致小。
步骤 6/6
目标：总结第二题结论。
由以上证明可知，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^n \sin \frac{1}{5^n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上逐点收敛，但不一致收敛。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛的区别：逐点收敛只要求每个点处级数收敛，而一致收敛要求收敛速度对 $x$ 一致。
步骤 7/8
目标：证明不一致收敛
考虑点列 $x_n = \frac{1}{5^n}$，则 $a_n(x_n)=3^n \sin\frac{1}{5^n \cdot \frac{1}{5^n}} = 3^n \sin 1$。由于 $3^n \to \infty$，通项不趋于0。但一致收敛的必要条件是通项一致趋于0，因此级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：一致收敛的必要条件：$\sup_{x\in D} |a_n(x)| \to 0$。
提示：注意点列 $x_n$ 的选取要使得通项不趋于0。
步骤 8/8
目标：总结
第一题利用比较判别法直接得证；第二题先证明逐点收敛（用等价无穷小和比较判别法），再通过构造点列证明不一致收敛。
提示：不一致收敛的常用证明方法：构造点列使通项不趋于0。
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