南京师范大学 2013年数学分析第0题

曲面 $S$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=9$（$z\ge 0$），取外侧（法向量指向球外）。补上底面 $S_0$：$z=0$ 上的圆盘 $x^2+y^2\le 9$，取下侧（法向量向下）。则 $S\cup S_0$ 构成封闭曲面，围成上半球体 $\Omega$：$x^2+y^2+z^2\le 9,\ z\ge 0$。

设 $P=(x+1)z^2$，$Q=x^2y-2$，$R=xy+y^2z$。计算散度： $$\frac{\partial P}{\partial x}=z^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=x^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=y^2.$$ 散度和为 $x^2+y^2+z^2$。由高斯公式： $$\iint_{S\cup S_0} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2)\,dV.$$

采用球坐标：$x=r\sin\theta\cos\phi$，$y=r\sin\theta\sin\phi$，$z=r\cos\theta$，$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。区域 $\Omega$：$0\le r\le 3$，$0\le\theta\le\pi/2$，$0\le\phi\le 2\pi$。被积函数 $x^2+y^2+z^2=r^2$。 $$\iiint_{\Omega} r^2\,dV = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin\theta\,d\theta \int_0^3 r^4\,dr.$$ 计算：$\int_0^3 r^4\,dr = \frac{243}{5}$，$\int_0^{\pi/2} \sin\theta\,d\theta = 1$，$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$。 结果为 $2\pi \cdot 1 \cdot \frac{243}{5} = \frac{486\pi}{5}$。

底面 $S_0$：$z=0$，取下侧，法向量为 $(0,0,-1)$。在 $z=0$ 上，$P=(x+1)\cdot0=0$，$Q=x^2y-2$，$R=xy$。第二类曲面积分转化为 $dx\,dy$ 上的积分： $$\iint_{S_0} = \iint_{x^2+y^2\le 9} R \cdot (-1)\,dx\,dy = -\iint_{D} xy\,dx\,dy.$$ 由于积分区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，$xy$ 是奇函数，积分值为 $0$。

由高斯公式： $$\iint_{S} = \iint_{S\cup S_0} - \iint_{S_0} = \frac{486\pi}{5} - 0 = \frac{486\pi}{5}.$$

由 $\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma+\Sigma_0} - \iint_{\Sigma_0} = \frac{486\pi}{5} - 0 = \frac{486\pi}{5}$。