南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
1．设
$$
a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+n+k},
$$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通项结构，确定极限求解方法
观察数列通项 \( a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k} \)，分母中 \( n^2 \) 是主要项，\( n \) 和 \( k \) 相对较小。因此考虑使用夹逼准则，通过放缩分母来估计和式的上下界。
公式：a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k}
提示：注意分母中 \( k \) 的变化范围是 \( 1 \leq k \leq n \)，放缩时要考虑分母的最值。
步骤 2/5
目标：对分母进行放缩，得到每一项的上下界
对于固定的 \( n \)，当 \( k \) 从 1 到 \( n \) 时，分母满足：\( n^2 + n + 1 \leq n^2 + n + k \leq n^2 + 2n \)。因此每一项满足：\( \frac{k}{n^2 + 2n} \leq \frac{k}{n^2 + n + k} \leq \frac{k}{n^2 + n + 1} \)。
公式：\frac{k}{n^2 + 2n} \leq \frac{k}{n^2 + n + k} \leq \frac{k}{n^2 + n + 1}
提示：放缩时注意不等式方向：分母越大，分数值越小；分母越小，分数值越大。
步骤 3/5
目标：对和式进行整体放缩，得到上下界表达式
对 \( k \) 从 1 到 \( n \) 求和，下界为：\( \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + 2n} = \frac{1}{n^2+2n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2(n+2)} \)。上界为：\( \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + 1} = \frac{1}{n^2+n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} \)。
公式：\frac{n+1}{2(n+2)} \leq a_n \leq \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)}
提示：求和时利用公式 \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)，并注意分母是常数，可以提出来。
步骤 4/5
目标：计算上下界的极限
计算下界极限：\( \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 1/n}{2(1 + 2/n)} = \frac{1}{2} \)。计算上界极限：\( \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 1/n}{2(1 + 1/n + 1/n^2)} = \frac{1}{2} \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2(n+2)} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} = \frac{1}{2}
提示：极限计算时，分子分母同除以 \( n \) 或 \( n^2 \) 化为标准形式，注意不要混淆。
步骤 5/5
目标：应用夹逼准则得出原数列极限
由于 \( \frac{n+1}{2(n+2)} \leq a_n \leq \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} \)，且左右两端极限均为 \( \frac{1}{2} \)，由夹逼准则知 \( \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \)。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}
提示：夹逼准则要求不等式两端极限相等，且中间数列被夹住，才能推出极限相同。
步骤 6/6
目标：应用夹逼定理，得出最终结果
由于下界和上界的极限都等于 \( \frac{1}{2} \)，根据夹逼定理（夹逼准则），原数列 \( a_n \) 的极限也为 \( \frac{1}{2} \)。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}
提示：夹逼定理要求不等式在 \( n \) 充分大时成立，这里对所有 \( n \ge 1 \) 都成立，因此可以直接使用。
步骤 7/7
目标：应用夹逼准则得出结论
由于左右两边极限均为 $\frac{1}{2}$，由夹逼准则得 $\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}$。
提示：夹逼准则要求不等式两端极限相等。
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